Angle de deux plans

Il est i^^al à laii^^le de leurs normales. On a donc :

, , ^ , , , , aa' 4- bb' 4- ce'

cos 0 :--- aa + H.^ + TT = ~^-^,-^I-— ,

La condition de perpendicularité est :

aa' -\- hb' -[- ce' = 0.

La condition de parallélisme est :

321. Plan passant par un point donné; distance d'un point à un plan.

/". — Soit : as-Yhii-\-cz = d, (1)

le plan, et .i\, //„, 3,,, les coordonnées du point donné.

Nous voulons ({ue le plan passe par le point; la condition est :

ci./-,, -f- />//o + c:;o = (/. (2)

Retranchons (2) de (1^ :

Naturellement, a, />, c restent arbitraires.

Des trois paramètres qui définissent un plan, un seul est déterminé; les deux autres [h \ a, c',a, par exemple) permettent d'imposer deux relations supplémentaires.

î?". — - Cherchons la distance du point A [xq, y^^ Zqj^ à un plan P :

ax-\-bi/-\-cz = d. (4)

Par le point A, menons un plan P' parallèle à P (§ 320) :

a{x — .ro j + M y — //« ; -{- c [z — z^) = 0. (5)

La distance des plans P et P' est la distance du point A au plan P, C'est aussi la différence des distances : OP' — OP, des plans à l'origine. On a :

. à ^, a.ro + byo -{- czp

~~ v'a' + b^ + C ' ' ~ vâ^+l>* + c«

D'où : ^^^,^^aœ, + hy, + cz,-d

Si Téquation du plan a la forme (4) du § 319, la distance cherchée est : 0 =^ olx -\- ^^y -\- ^(Z — A .

^°. — On peut dire (comme pour la droite tracée dans un plan, § 29, S°) que le plan divise l'espace en deux régions pour lesquelles 5 a des signes contraires. Le plan sert de surface de séparation; il est défini par la condition o = 0.

322. Plan tangent à une surface au point X, Y, Z; normale à la surface en ce point.

i°. — Une surface est définie par une relation f[x, y, 3)==0, entre les coordonnées de ses points. Soit X, Y, Z, les coordonnées d'un point A; a:^=^X-|-<7X, y=zY-^dY, z:=7j-\-dZ^ les coordonnées d'un point B voisin et appartenant à la surface. On a donc :

A(X, Y, Z) = 0, /■(X + dX,Y + rfY,Z + rfZ) = 0, (1) et par suite :

/•(X + rfX,Y + <7Y,Z-|-c/Z)-/-(X, Y, Z) = 0. (2)

Par définition, (2) est la difTérentielle df de la fonction f[.r, y, z) pour les valeurs X, Y, Z, de la variable. D'où :

My:.,Z) ,,x+ ^AX, Y, Z) ^y 5/(X Y, Z)

Telle est la relation à satisfaire entre les accroissements infiniment petits G?X, (/Y, f/Z, des coordonnées, pour que le point x,y, z, voisin de A ne cesse pas d'appartenir à la surface.

'^^ — Remplaçons JX, dY , dZ, par .r — X, //—Y, z — Z. L'équation (3) devient :

C'est l'équation d'un plan , puisque les dérivées partielles ont les valeurs relatives au point A de coordonnées invariables X, Y, Z, et sont par suite des constantes,' x, y, 2, sont les coordonnées courantes.

Si l'on suppose le point x, ?/, z, assez voisin de A, l'équation (4) se confond avec l'équation (3). Donc (4) représente un plan qui passe par tous les points de la surface voisins de A; c'est le plan tancent à la surface au point A,

,9°. — La normale au plan (4) menée par le point de tangence A est par définition la normale à la surface au point A.

Ses cosinus directeurs sont (§ 319, ^°) :

S99 COURS DE MA THÉMA TIQUES (il^yf: RALES

323. Équations de la droite. Expression des cosinus directeurs.

/". — Une droite AB est définie quand on se donne deux de ses points M et N. Soit .ro, //„, r,,*, 'n //i* ^m leurs coordonnées. Cherchons les coordonnées jt, //, 3, d'un point P quelconque de la droite. Un théorème connu nous apprend que les projections orthogonales de MP et de MN sur une droite quelconque sont dans le rapport Ml^ ; MN. D'où les relations :

MP __ r — .r^ __ // — .Vo^ - — 'f^ MN "~ ■f'i—^o ~ .V» — ;/o ~" 3, — :îo* Les deux équations (I) sont les équations de la droite. Nous les prendrons ^généralement sous la forme :

Il n'y a que quatre constantes indépendantes, comme on le voit

en chassant les dénominateurs.

t^". — Nous pouvons définir la droite par ses projections sur deux des plans coordonnés. Os projections sont arbitraires; leur choix impose la projection sur le troisième plan.

Soit en eflet HF, CD, les projections sur j™03 et//0-.

Menons par ces droites des plans respectivement parallèles à Oji et à 0.r. Ils se coupent suivant la droite cherchée AB. La troisième projection s'ensuit.

S"".' — Menons par Torigine une parallèle à la droite i'I). Soit .r, //, 3, les coordonnées du point à la distance R de l'origine; on a :

-7- = -^^ = — ! nT^=lz, ni/=zniz.

a, (i, Y? les cosinus directeurs de la droite. On a :

j: y__ z y/a^'41'y^-fT-' R

Fig. 21a

Soit

yJW-\- m} -\- n'

yT-f m^ + n*

4°. — Nous pouvons définir la droite au moyen d'une variable auxiliaire /. Les équations (2) s'écrivent :

A chaque valeur de t correspond un point de la droite. En particulier, la valeur ^ = 0 définit le point M à partir duquel est comptée la variable t :

On a : {x — pY+ [y — qf + [z — /f .= [l^ + m^ + i^)l\

s z=z t y^ i^ -\- m- -\- n'^ représente donc la distance MF du point P

de la droite auquel correspond la valeur t de la variable, au point

M origine des /.

En particulier, si /, m, /i, sont les cosinus directeurs de la droite,

on a : y /- -|- m- -|- n^ = 1 , s r= /.

324. Droite normale à un plan et passant par un point donné ; angle de deux droites.

/°. — Soit le plan : a.r-(-/>// -f-C3r=J; (1)

soit .To, ;/o, 3o, les coordonnées du point. Les équations de la droite cherchée sont :

En effet, elles sont satisfaites pour le système de valeurs :

De plus, la droite a les mêmes cosinus qu'une droite quelconque normale au plan (Jj '319).

t>.-Soit: " £^=MJ=:±=^^Z^ (3)

— Pi y — qi -— /'

les équations de deux droites. Le paragraphe précédent donne leurs cosinus directeurs. On a pour l'angle 6 de ces droites (§ 316) :

//, 4- mm, -\- nn.

Les droites sont rectangulaires quand :

Z/i -[- m.m.^ -\- nn^ =- 0.

S°. — Soit à calculer l'angle de la droite (3) avec le plan (1). Gela revient à calculer l'angle de là droite avec la normale au plan (§ 319). On a donc :

la -\- mb -\- ne

COURS DE MATHÉMATIQUES GÉ\ÉIiALES

La droite est parallèle au plan quand elle est perpendiculaire à la normale au plan. D'où la condition :

la-]^mh-\-nc = 0. (4)

4°. — Cherchons à quelles conditions la droite (3) est tout entière dans le plan. Il faut d'abord que la condition (4) soit satisfaite. Résolvons des premières équations (3) par rapporta a? et à y; substituons dans (1) les valeurs trouvées. Il vient la seconde condition :

ap-{- hr/ -^cr = (I. (5)