P- = OM — MF

=: (M' ( 1 — cos' i) = ÔM' sin^ £ .

Soit a, ,'i, y, les cosinus directeurs de la droite D ; posons OM=r/'. Projetons sur D dune part la droite OM, d'autre part le polvgone non représenté formé des coordonnées du point M placées bout ti bout. On a :

forme

r cos £ = ax -1- ;i.y -{- y- ; ÔP^ = (x^ + y' + 3--", - (a:r -f P;/ + .z)\

=. (yy - z^^y- + (=a - nY + «^ - y^Y •

Ceci posé, prenons les équations de la droite sous la

ni n

Substituons à x, ?/, z^ et à a, ,S, y (^ 323) leurs valeurs dans l'expression de OP .

Il vient :

nq — mry -\- [Ir — npf -\- {mp — IqY

3". — Soit maintenant x^, î/o, -o» les coordonnées du point dont nous voulons la distance à la droite. Ramener l'origine en ce point, c'est retrancher ^o à tous les x, /y,, à tous les ?/, ^o à tous les z.

Pour que les équations subsistent, il faut donc remplacer :

p par p — Xo, y par q — yo, ^ par ^ — 2/o- La distance cherchée est par suite :

326. Moment d'un vecteur par rapport à un point; projections et représentation d'une aire plane.

i°. — A partir du point M menons sur OD le vecteur de longueur F, par suite de composantes :

X = Fa, Y = F3, Z = Fv.

Évaluons Faire S du parallélogramme construit, dans le plan OMD, sur les deux vecteurs F et OM . Elle est :

S = F . ÔM . sin£ = F . OP.

Le paragra23lie précédent donne immédiatement :

S' = (.</Z-^Y)^ + (^X-a-Z)' + (^Y-,vX)=. (1)

'^". — Considérons maintenant les projections S,., S,^, S,, du parallélogramme sur les plans normaux à Ox, Oy, Oz.

Sans qu'il soit nécessaire de refaire les calculs, nous pouvons écrire :

Sj, = y7j — :;Y, $,, = ^X — xZ^ S- = ^Y — yX.

S-, par exemple, est construit sur la projection OM' de OM, et sur la projection représentée du vecteur. On déduit immédiatement son expression de l'expression générale (1) en posant Z=:rrO, z = 0.

S'^- — Voici enfin où nous voulons en venir.

Représentons une aire plane S par un vecteur normal à cette aire et dont la longueur lui soit proportionnelle. Nous pouvons considérer ce vecteur comme la résultante de trois vecteurs dirigés suivant les axes 0.r, 0//, 0^, et proportionnels aux projections de l'aire sur les plans yOz, zOx, xOy.

Pour un parallélogramme et par suite pour un triangle , le théorème résulte de ce qui précède ; il est applicable à une aire plane quelconque, puisqu'on peut toujours la décomposer en triangles.

Cette proposition est fondamentale en Mécanique.