Plus courte distance de deux droites D et Dj

Pour la calculer, menons par Dj un plan P parallèle à D ; déterminons la distance d'un point quelconque A de D au plan P. /°. — Les équations des droites sont :

x^ — p y — q z — r x — pi y — q^ z — r,

/ m /i ' /| m, Ail

Le plan : ax-\-by -\-cz = d, (2)

■m COURS DE MA THÉMA TIQUES GÉNÉRALES

devant être parallèle aux deux droites , écrivons que sa normale leur est perpendiculaire (§ 324, ,'?") :

al -\- hm -}- en == 0, al, + hm, -\-cn,=^^. (3)

Ecrivons qu'il contient la seconde droite (§ 324, 4") :

ap^J^hq^^cr\ = (I. (4)

En définitive, les constantes du plan (2) doivent satisfaire aux équations (3) et fi).

!^". — Supposons -les calculées; pour avoir la distance cherchée, nous pouvons choisir arbitrairement lo point A sur la droite D ; prenons celui de coordonnées /?, (/, r\

Sa distance au plan P est (j^ 321, '2") :

ap -\- hq -\-cr — d

Il ne reste plus (ju'à éliminer /i, A, c, J, entre (3), (4) et (5). ,3\ — Des équations (3) on tire (§ 28) :

a:=(nin^ — /?m,)M = \u^

h = inli — /ni)u ^Bu,

c = [lm^ — ml^)^^ =::Cu,

où u est une variable auxiliaire qui disparaîtra par la suite. Transportons dans (4) :

Transportons dans (5) : >= /^-/^')^+(^-J^OB+ir--r,)C .

Nous connaissons donc la distance des deux droites, c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire commune ; il s'agit de déterminer sa position, c'est-à-dire les points de chaque droite auquel elle aboutit : c'est ce que nous ferons au paragraphe suivant.

328. Positions des points de deux droites dont la distance est minima.

Prenons les droites sous la forme :

X =zp -\- It^ Il = r/ -|- mt, 3 = r -j- n^ ;

La distance de deux points est :

Ecrivons qu'elle est minima. Dérivons donc successivement cette expression par rapport à / et à t, et annulons les dérivées. On a :

l[p—p,-\-lt—l,'}+... = ^, k[p--p,-\-lt-l,^]+...^(i.

Ordonnons par rapport à ^ et à t. Il vient le système d'équations du premier degré à deux inconnues :

mm.

rfAt — [IL

nn.

+ Kp—Pi.

?nmi

nn,)t — (/; + m? + nl)T + l,{p —p,] -\-nJr—n)=:0.

Reste à résoudre par rapport à ^ et à t. Pour simplifier l'écriture, posons :

A = m/î, — nm^ B = nli — /aî^, C = lm^ — m/,.

P == mi( Tj — r) — n^{qi — q),

Q == >h{Pi —p) — ^i(n — r) , R =r= /,(r/i — q) — m,{p, —p) ;

On trouve aisément :

AP + BQ + GR

Pi = m{r^ — r) — îî{q^ — q), Qi = n{p, — /)) — l{r, — r), R^ = liq, —q) — m{p, —p).

AP, + BQ, + CR,

A^4-ir-4-G-2

329. Variation de la distance des points de deux courbes gauches. Développée et développantes.

Soient deux courbes gauches (î^ 402) OAB, O^A^B, (fig. 212), dont les points sont repérés par leurs distances respectives ^,t, à deux points 0, Oj, pris pour origines.

Ces distances sont comptées sur les courbes mêmes (§ 4).

Nous demandons comment varie la distance o = AAi, de deux points pris respectivement sur ces courbes, quand ils se déplacent infini- ^ ment peu.

En vertu de la définition de la tangente à une courbe plane ou gauche (sa distance à la courbe est un infiniment petit du second ordre comparé à la distance au point de tangence) , nous ramenons immédiatement ce

Fig. 212.

problème à celui des distances des points de deux droites. Soient donc les équations des tangentes en A et en Aj :

x=p~\- It , y = q -\-mt ^ :; == r -j- /i ^ ;

icn=:{p-p, + it-ir,;)[idt-hd-:) + ... (2)

Prenons respectivement pour /, //?, /? ; /,, m,, /i,, les cosinus directeurs des tangentes en A et en A, ; / et t représentent alors (ij32){, 4") les arcs de tangente ou. si l'on veut, les arcs AC, A,C,, dont les points A et A, se déplacent sur leurs courbes respectives par suite du mouvement considéré.

Evaluons les cosinus des angles a, :z,, comptés à partir de la tangente correspondante vers la droite AA,.

Au point A, les cosinus directeurs de A A, sont (S 316, î^") :

d'où (S 316, S°) :

c cos a = /(./•, — ./•) -]- m (// , — //) + 'i ( -« — -) • (3)

Au point A,, les cosinus directeurs de A, A. sont :

d'où : S cos a, = /, (.r — ./•,) + w, (// — ;/,) -|- /}, (3 — 3, ). (4)

Remplaçons dans (){) et (4) les coordonnées par leurs valeurs (1). Comparons à (2) ; on trouve la relation fondamentale :

dz = — cos :l . dt — cos ai . (h. (5)

La figure 21 1 montre la raison d'être des signes — .

Par exemple, quand A vient en G (///>0), l'angle 2 étant aigu (cosa>>0), la distance A A, diminue (d^<^{)).

La formule (5) a de nombreux et intéressants corollaires. Etudions en particulier les diverses manières d'y satisfaire identiquement.

t>. — Sphère.

Soit une droite invariable (d^ = i\), dont une des extrémités A est fixe ((//=:0). On a donc identiquement cosai.(/T = 0.

Si l'extrémité A, est mobile, il faut que le cosinus soit identiquement nul, d'où oc, = T ; 2. Donc quel que soit le mouvement de rotation de la droite invariable autour de A, elle reste normale aux trajectoires de son extrémité mobile A' qui décrit évidemment une sphère.

S\ — Tube.

Soit une droite invariable (dc = 0), dont une des extrémités A décrit une courbe C à laquelle elle reste normale (cosa = 0). On

a nécessairement cosai = 0, oli=zt.'.2. L'extrémité mobile décrit alors un tube y surface que nous retrouverons plus loin (§ 398) et dont on a une représentation concrète dans un tube à gaz contourné comme on voudra. La courbe G est Vaxe du tube.

4"". — - Développante d'une courbe gauche.

La droite est assujettie à rester tangente à l'une des courbes : a = 0, cosa=l. On impose de plus la condition dz = — dt. On doit avoir identiquement cosai:=0, a^^Tr ; 2.

On reconnaît dans cet énoncé da généralisation pour les courbes gauches de la définition des développantes (95, S""). Un fil est attaché au point Q et s'enroule sur la courbe QC'D, que nous appellerons développée. A partir du point G' où il quitte la courbe, il suit la direction de la tangente CC.

Les développantes sont les trajectoires des divers points du fil.

Rien dans cette définition ne suppose que la développée est plane.

La condition do=^ — dt, exprime le déroulement : la longueur de la tangente augmente d'une quantité précisément égale à celle dont diminue l'arc de développée touchée par le fil.

La condition ^i = tt ; 2 exprime que la tangente à la développée est normale aux développantes. Les développantes (en nombre infini) qui correspondent à la même développée, sont des courbes parallèles ; elles ont des normales communes en nombre infini. Gonformément à la formule (5), les longueurs interceptées sur ces normales par deux développantes sont constantes.

Nous reviendrons sur les développantes des courbes gauches au