Invariants

/". — Nous avons montré, au 5:; 317, que par rapport à deux systèmes d'axes de même orit^ine, tous deux rectan*;ulaires, les coordonnées x^ ;/, z, X, Y, Z, d'un même point sont liées par les relations linéaires (5) ou les relations équivalentes (6).

Soit une fonction entière /'(.r, //, z, a, />, c, ...), contenant (outre les variables x, y, z) des paramètres a, h, c, ... qui sont les coefficients des différents termes du polynôme. Substituons à r, r/ , z, leurs valeurs (6) en fonction de X, Y. Z. Nous obtenons un nouveau polynôme F(X, Y, Z, A, B, C, ... , évidemment du même degré que /*, contenant de nouveaux coefficients A, B, C, ...

11 peut arriver qu'une fonction ^(a, h, c, ...) des coefficients a, />, c, ... conserve la même valeur, lorsqu'on substitue à a,I),c,... les coefficients A, B, C, ... ; ou encore prenne une nouvelle valeur égale à l'ancienne multipliée par un facteur a indépendant des coefficients a, />, c, ... et fonction seulement des coefficients de la substitution linéaire (0). On dit que la fonction : '

o(A, B, G, ...) — ix^[^a, h, c, ...),

est un invariant y \l est seulement fonction des coefficients de la substitution.

Les substitutions linéaires (o) et (6) du § 317 ne sont pas générales, puisqu'il existe entre les coefticients les relations (1) et (3). Mais la définition que nous venons de donner ne suppose pas l'existence de ces relations : les substitutions linéaires peuvent être quelconques; quelconque aussi le nombre des variables.

:i^°. — Pour préciser ces notions, revenons sur une question déjà traitée (ji 105). Soit la fonction homogène :

f(x, ij; m, n, p)=: nix-^ ni/^--{-'2pxy.

SURFACES DU SECOND DEGRE dt»«»

On l'appelle forme quadratique binaire, pour exprimer que le degré est 2 (quadratique) et qu'il v a deux variables (binaire). Faisons la substitution :

^^aX + a'Y, .y = 3X + ^'Y.

Nous obtenons une nouvelle forme quadratique :

MX^ + NY"- + 2PXY; M = mcf} -\- ny- -\- 2/?a^3, N = ma'- -\- n'^'- -\- 2p7.'^\

p ^ ni^^' ( n^^'^' +/)(a.3' + a ^) . On vérifiera la relation :

(MN — P^) = (x3' — a\3)'- (mil —[/-) ;

mn — />- est un invariant.

Le facteur y.'^' — a\3 s'appelle module de la transformation.

En particulier, s'il s'agit du passage d'un système d'axes rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires, on a (j^§ 78 et 317) :

a=:cosO, (i = sinÔ, y! =^ — sin 0, |î' = cosô;

ag' — a':i = cos2 0 + sin- 0 = 1, MN — P- = mn —p\

Le module de la transformation est V unité ; l'invariant est absolu.