Plans conjugués et diamètres conjugués

Nous venons de définir une double relation géométrique entre la droite :

X y z Ix my nz

-7- = -^ = — , et le plan : — ^ -k — 7-, 4- = 0 . (1)

/•". — Soit un second système :

Écrivons (jj 324, /") que la droite (2) est dans le plan (1

lli mm, tiRi __

Cette condition exprime aussi que le plan (2) contient la droite (1). Donc toutes les droites d'un plan ont des plans conju(jués qui passent par la droite conjuguée de ce plan.

^°. — Choisissons d'abord le plan P, et déterminons sa droite conjuguée D,. P2 Prenons arbitrairement dans P^ une

droite D., ; le plan conjugué P.2 passe ^^ P

par Dj. Déterminons l'intersection D^

de P2 avec P^. Naturellement elle est à

la fois dans les plans P^ et Po ; donc son

plan conjugué passe par D^ et par D. ; 217

il est complètement déterminé.

Nous définissons ainsi un trièdre dont chaque arête est conjuguée du plan des deux autres, dont chaque face est conjuguée de l'intersection des deux autres.

On remarquera qu'un plan Pi fait partie d'une infinité de systèmes de plans conjugués, puisque D.2 est choisie arbitrairement parmi les droites qui sont dans P,.

De même une droite D2 fait partie d'une infinité de systèmes de diamètres conjugués, puisque Pi peut être choisi arbitrairement parmi les plans qui passent par D..

^". — Rapportons l'ellipsoïde à trois diamètres conjugués ; l'équation prend la forme : Ax- -\- By- -\- Cz"^ = i .

On le montre immédiatement en écrivant que l'axe Ox , par exemple, est le lieu des centres des intersections de l'ellipsoïde par les plans parallèles au plan conjugué qui est yOz.

343. Plan tangent ; plan polaire. Méthode des polaires réciproques.

j°. — DifTérentions l'équation de l'ellipsoïde :

X^ Y^ Z^ Xc/X Yr/Y ZdZ

Soit X, Y. Z, les coordonnées du point de contact A ; .r, y, z, les coordonnées courantes. Le plan tangent a pour équations équivalentes

i?". — La droite qui va du centre au point X, Y, Z, a pour équations :

Comparons l'équation (1) a celle du plan diamétral conjugué de la droite (2). Nous concluons que le plan tangent en un point A est parallèle au plan diamétral conjugué du rayon vecteur OA issu du centre qui aboutit en ce point.

,'?". — Par un point extérieur B de coordonnées jc^ y, z, menons

Fi g. '218.

des plans tangents à la surface (fig. 218). Les coordonnées des points A de contact X, Y, Z, doivent satisfaire aux équations :

I =(l, du plan tangent,

de rellipsoïde.

Mais l'équation Tr=0, en y regardant X, Y, Z, comme des coordonnées courantes, est celle d'un plan. Donc les points de contact des plans tangents qui passent par le point B, sont sur un plan P qu'on appelle plan polaire du point B : celui-ci prend le nom de pôle. Le plan polaire a la même équation que le plan tangent.

Tous les plans tangents qui passent par \e pôle B ont pour enveloppe (§ 397) un cône G qu'on appelle cône tangent oucône circonscrit.

4°. — Rien, dans l'équation Tr=0, ne suppose que le point B est extérieur à l'ellipsoïde. On définit donc même le plan polaire d'un point par lequel on ne peut mener aucun plan tangent réel.

Si le plan polaire Pj de Bi passe par B2, réciproquement le plan polaire P2 de B2 passe par B^ (iig. 219).

En effet, la condition est la même dans les deux cas :

Considérons un point E de l'intersection des plans P^ et P^. Puisqu'il appartient à la fois aux deux plans, son plan polaire passe par les pôles de ces plans. Donc il passe par la droite

B.Bs.

Déplaçons le point E sur l'intersection des plans Pi et Po : son plan polaire tourne autour de la droite B1B2 qu'il contient toujours.

La droite EF s'ap -

pelle droite polaire de la droite B1B2 par rapport à l'ellipsoïde considéré.

Réciproquement BjB, est la droite polaire de EF; cela signifie que les plans polaires de tous les points de B,B2 passent par EF; ce qu'on vérifiera aisément.

Les propriétés précédentes permettent donc de conjuguer :

1° un point à un plan, une suite de points à une suite de plans ; 2° inversement, un plan à un point, une suite de plans à une suite de points ; 3" une droite à une droite , une suite de droites à une suite de droites. On conçoit que tout théorème démontré pour une suite de points entraînera un théorème démontré ipso facto pour une suite de plans, et réciproquement. C'est à ce doublement remarquable du nombre des théorèmes qu'on donne le nom de principe de dualité.

■'f. — Pour fixer les idées, prenons comme quadrique une sphère de rayon R. Soit .x, ?/, z, les coordonnées d'un point B. L'équation du plan polaire est :

y^x-\-Yy^Zz = 'R\

dont la distance à l'origine D est (§ 319, /?°) :

d'où :

A . OB =r R2.

Le plan polaire du plan B est normal à OB ; le produit de sa distance au centre de la sphère par la distance du pôle au même point est constante. On vérifiera aisément que deux droites polaires l'une de l'autre sont normales l'une sur l'autre.

Quadriquos honiofocales.