oc X, — c- X.j —h- X3 —a"' on trouve : -}- 0 — 0 -f

pourries signes du premier membre. Donc X, convient à un ellipsoïde, Xj à un hyperboloïde à une nappe, X3 à un hyperboloïde à deux nappes disposés comme dans la lig. 213, d'après l'hypothèse a^by>c.

345. Deux surfaces homofocales se coupent partout à angle droit.

/^ — Deux surfaces se coupent à angle droit en un point A de leur courbe d'intersection, quand les plans tangents au point A sont normaux, ou, ce qui revient au même, quand les normales au point A sont rectangulaires.

Le plan tangent en un point X, Y, Z, de la surface (1) a pour équa-

tion (§ 343) : -f^ + J^ + ^/^j = 1 .

Les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à :

ci^ + X ' i>' + A ' c^ + X ■

Donnons à A deux valeurs égales à deux des racines a^, Xa, Xg, de l'équation qui exprime que les quadriques passent par le point X, Y, Z. Ecrivons que les deux normales aux surfaces ainsi déterminées sont rectangulaires (§ 316) :

[a- + li) (a« + -aJ + -(i' + X,y(Ar4.T,y + (C + )-) (?"+ X,) = ^- ('' )

Mais nous avons

+ 7^jrv-=i, (2)

a^ + Xi "T" />^ + Xi •" c2 + Xi __X^ , Y^ , Z^

Retranchons (2) et (3) membre à membre ; nous retrouvons (1).

^°. — Gomme cas particulier, nous avons le théorème du § 240. Pour X = — C-, la surface qui est à volonté un ellipsoïde ou un hyperholoïdc à une nappe évanouissants, se réduit à tout le plan jz = 0. Pour X = — />^, la surface qui est à volonté l'un ou l'autre hyperboloïde se réduit à tout le plan ?/ = 0. Enfin, pour X = — a^, l'hyperboloïde à deux nappes se confond avec le plan x^i^O. Les autres valeurs de X sont fournies par une équation du second degré.

S". — Coordonnées elliptiques.

Un point quelconque de l'espace peut être défini par les paramètres ^1) \i Xg, qui constituent ce qu'on appelle les coordonnées elliptiques du point. Les valeurs o?^, y~,Z", correspondantes, s'en déduisent par trois équations du premier degré de la forme (2).

Ces coordonnées sont employées dans un grand nombre de problèmes des théories de l'Élasticité, de la Conductibilité électrique ou calorifique.

Cours de IM athématiques générales. — H. Bouasse. 27

Homogniphio linôaire o\ involiition.

346. Correspondance homographique des points de deux droites.

i". — Prenons une origine sur chacune des droites D, D' (iig. 220) : O pour la première, 0' pour la seconde. Appelons ;r, .r', les distances

Pig. 22t>.

respectives des points P, P , aux origines correspondantes, distances comptées positivement dans un sens, négativement en sens contraire. On dit que les points P, P', des deux droites sont conjugués homographique ment, quand on a :

A^^' + B.r -f Cj' 4-0 = 0, (1 )

où A, B, G, D, sont des constantes.

Le point P étant donné par sa distance (DP = jr), à l'origine 0, Téquation (1) linéaire en x fournit une valeur de .r' et une seule. Elle détermine sans ambiguïté le point P' conjugué de P. Inversement, si P' est donné, l'équation (1) fournit le point P conjugué.

^''. — Choisissons pour nouvelles origines A et A deux points conjugués définis par les distances a et a' aux origines 0 et 0 . Posons donc :

/f=^x — a, if =:zx — a.

COdUŒSPONDANCE P^OiNT PAR POINT 419

Transportons dans (1), il vient :

Kyy' + (B — Ka')y + (G — Aa)^' + Aaa'+ Ba + Ca' + D z== 0, qui se réduit à :

Aj/2/' + (B-Aa)2/ + (G-A3)2/' = 0, (2)

en vertu de l'hypothèse que A et A' sont conjugués. Ce résultat était à prévoir, puisqu'on doit trouver :

î/ n= 0 pour y' = 0.

Divisons par Ayi/' ; réquation (2) prend la forme :

Aa — C ^, Aa' — B en posant : / = , / = ^ .

J". — Si l«es points de la droite D sont conjugués homographiquement, d'une part des points de la droite D', de l'autre des points de la droite D", les points de D' et de D" sont eux-mêmes conjugués homographiquement. En effet, par un choix convenable des origines, nos hypothèses s'expriment par les relations :

D'où: lC-4^ = 9-/,

qui renferme la proposition énoncée.