Établissement d'une correspondance homographique

Une droite qui passe par un point fixe G, coupe deux droites D

;22 COURS DE MATRÉMATIQUES GÉNÉTLilES

et D' en des points qui sont conjugués horac^raphiquement (6g. 222). Prenons les droites D, D', comme axes de coordonnées obliques (§ 315). Soit :

l'équation d'une droite CAA' qui passe par le point G [xq, y^).

On a pour coordonnées :

de l'intersection A avec D

A' avec D'

Kig. 222.

Eliminons a entre les équations :

"^^ = .Vo — '^'o. >^ ~ -ro — //o : '■' .

Il vient : W^ -\- y"= l.

On pouvait prévoir cette forme : les foyers F et F' sont obtenus en menant par G des parallèles aux droites D et D'. Leurs coordonnées sont donc :

pour F : .r = 0, Y = ?/y; pour F' : //=0, X = iro.

Rabattons la droite D sur la droite D'. Les points doubles sont Di et Do. Pour obtenir D'.^ , menons la bissectrice D,S et abaissons sur elle une perpendiculaire du point G. On a DiD^^DjD'a '. les points conjugués D.j et D', se superposent donc après le rabattement.

Remarque.

On réalise bien ainsi une correspondance homographique sur les droites D et D'^ la plus générale possible par rapport aux droites considérées indépendamment de leur situation dans le pian, mais non la plus générale par ntpport au plan. Pour obtenir une correspondance plus générale, on fera glisser arbitrairement une des droites sur elle-même, de sorte que le point d'intersection des deux droites, considéré comme appartenant à l'une d'elles, ne soit plus son propre conjugué sur l'autre.