Distance d'un point du plan à une droite

/". — Soit la droite 1) : ax -{- bi/ -}- c = i) . (1)

Du point A de coordonnées 3, r,, abaissons sur D une perpendiculaire AB. Ecrivons donc : d'abord que la droite AB passe par le point ; , y; ; ensuite que le produit de sa pente par la pente de la droite I) est égal à — 1 (>:$ 24). On trouve immédiatement l'équation :

i?'. — Déterminons le point d'intersection B des droites (1) et (2). Il suffit de considérer leurs équations comme simultanées en x et y.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

et de résoudre les équations (1) et (2) par rapport à ces inconnues. Nous écrirons :

D'où :

Les solutions (3) ont une forme qu'il était facile de prévoir. Car le point d'intersection B des deux droites (perpendiculaires l'une sur l'autre) coïncide avec le point A de coordonnées ^, v) , si celui-ci est sur la droite D. Autrement dit :

x = ^, y = riy quand : az-{-b'ri-{-c^(}.

S"". — Déterminons enfin la distance AB. On a :

Fig. 21.

AB

Choisissons arbitrairement l'un des signes. La droite D sépare le plan en deux régions I et II pour lesquelles AB a des signes contraires ; AB change de signe en s'annulant lorsque le point A, passant d'une des régions à l'autre, traverse la ligne de séparation. Au surplus, nous pouvons arbitrairement choisir un signe pour l'une des régions ; car rien n'empêche d'écrire l'équation de la droite D sous la forme : — ax — by — c==0.

Cette séparation du plan en régions au moyen de courbes et cette détermination de la région occupée par le signe d'une certaine fonction sont des exemples d'une méthode absolument générale.