Équations de la tangente et de la normale à une courbe
/". — Soit ;, Y), les coordonnées du point A par lequel on veut mener la tangente ou la normale. L'équation d'une droite quelconque passant par ce point est (§ 23,4°) :
5°. — Exprimons que la droite est tangente à la courbe r^=f{E), dont le point A fait partie. Soit x, y, les coordonnées d'un point B quelconque de la tangente.
On a :
ÂK KB X — ? y-
AE EG ' ^ç ^n
En effet, quand le point E se rapproche du point A, les points G et
D tendent à se confondre d'après la définition même delà tangente. Le rapport EG I AE devient à la limite égal au rapport cir, : (/?.
On retrouve Téquation(2)en écrivant que la pente de la droite ( 1 ) est égale à la pente de la courbe :
a dr
Supposons la courbe donnée sous la forme /'(;, r/) = 0. On a ( § 9) :
^di + ^dr,=:0. I\d- + r^d-,
D'où les formes équivalentes de l'équation de la tangente :
ùr,
3''. — Exprimons que la droite (1) est normale à la courbe. Il suffit d'écrire que les pentes p et p de la tangente et de la normale satisfont à la relation (jij 24, /") :
pp'=-i.
D'où l'équation de la normale :
[x-X)d-- + (y~r:)Jr, = (i. (3)
La pente de la normale est : p' = — dl [ dr,.
Supposons la courbe donnée sous la forme /*(;, y;) = 0. On a pour la normale menée au point de coordonnées ;, y; :
flM-i)=n{y-r.).- (3")
Paraboles et hyperboles.
Gomme le lecteur le verra, le procédé fondamental des Mathématiques consiste à étudier des cas simples et à s'en servir comme
FONCTIONS ALGÉBRIQUES 47
termes de comparaison pour discuter les cas complexes. Les courbes usuelles de comparaison sont précisément les paraboles et hyperboles dont nous allons nous occuper.
31. Fonctions y = x'', if^^x, pour n positif, entier et pair (paraboles).
Toutes ces courbes passent par le point x = \^ y =^ ^ (point P,
fîg. 23). Si une courbe du faisceau I, y = x^^ est connue, la
Fig. 23.
courbe y"" i=r a?, correspondante du faisceau II, l'est immédiatement, puisqu'elle traite les y et les x comme la précédente traitait les x et les y : les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite OP d'équation y=zx.
Par hypothèse n est pair; donc la courbe yz=ix^ a les mêmes ordonnées pour deux valeurs de x égales et de signes contraires : elle est donc symétrique par rapport à 0?/. La courbe î/'^^ro?, a les mêmes abscisses pour deux valeurs de y égales et de signes contraires : elle est donc symétrique par rapport à Ox.
On a pour le premier faisceau (§ 13) :
dx
nx"
dx
0, pour x = 0.
Donc toutes les courbes de ce faisceau I sont tangentes à Ox au
point 0. D'où résulte que toutes les courbes du faisceau II sont tangentes h 0;y au même point.
Quand on élève à la puissance n une quantité inférieure à l'unité, elle est d'autant plus petite que n est plus grand. Quand on élève à la puissance n une quantité supérieure à l'unité, elle est d'autant plus grande que n est plus grand. Donc la courbe aP^O , qui est audessous de aPcO pour .r<^l, est au-dessus pour x^\.
Elle correspond à /y=x'% tandis que l'autre est une parabole ordinaire et correspond k i/ = x-.
Les deux courbes a'Py'O et a'Pc'O correspondent à y^ =^ x et à y^ = x.
A mesure que n croit, la déformation continue dans le même sens. Pour n très grand, l'ordonnée de la courbe y = x'' est quasi nulle pour toutes les valeurs de a: <; 1 , est très grande pour toutes les valeurs de x^ i. La courbe se rapproche de la forme TUOVW. Corrélativement, la courbe y''=rx se rapproche de la forme T'U'OV'W.
La pente des courbes au point P est donnée par la formule :
Elle croît avec /i, comme cela résulte des considérations immédiatement précédentes.
Remarque.
Les fonctions y = Ar"^ /y" = Aj-, se déduisent de celles qu'on vient d'étudier, par une dilatation convenable des abscisses et des ordonnées. Il est évident qu'on tire y=r2.r*, de y=x^, en doublant les ordonnées pour les mêmes abscisses.
Continuité di: la fonction //^r" et de sa dérivée.
On voit aisément que y est une fonction continue de .r; c'est dire qu'à partir d'une valeur To, on peut donner à x un accroissement Ix assez petit pour que la valeur y ne diffère de la valeur ?/„, qui correspond à .ro, que d'une quantité A?/ inférieure à toute quantité fixée à l'avance, si petite qu'elle soit. La dérivée:
dx=^'^ '
étant de la même forme que //, est elle-même continue. C'est dire que la pente de la courbe représentative de y ne varie brusquement en aucun de ses points.
32. Fonctions ,v=^''S y^^^-^^ pour n positif, entier et impair. Généralisation.
Les courbes du faisceau I, y=zx'*, sont symétriques des courbes du faisceau II, î/'' = .r, par rapport à la bissectrice des axes y=Jo.
Pour deux valeurs de x égales et de signes contraires, on obtient
FONCTIONS ALGEBRIQUES
des valeurs égales et de signes contraires de y ; donc les branches aPO et eQO d'une courbe sont symétriques par rapport au point 0.
Toutes les courbes du faisceau I sont tangentes à Ox au point 0, sauf pour n=\, qui donne la droite y=x. Toutes les courbes du faisceau II sont tangentes à Oz/ au point 0.
Toutes les courbes passent par les deux points P et Q de coordon-
la
Ti impair
Fig. 24.
nées -(-Ij-hl 6t — ^^ — 1- Considérons deux courbes du même faisceau I, par exemple. Celle pour laquelle n est le plus grand, est au-dessous de l'autre pour 0 <; 37 <[ 1 , au-dessus pour a? >> 1 . Les résultats sont inverses pour 0>a:^> — i, et x <i — 1.
Pour n très grand, les courbes du faisceau I tendent vers la forme TUOVW; les courbes du faisceau II tendent vers la forme T'U'OV'W.
Généralisation .
Nous étudions dans ce qui précède les fonctions de la forme 2/ = a?", y'^==x, où n (positif) est entier pair ou impair. La généralisation consiste à supposer n quelconque : les fonctions peuvent très exactement se ramener à la forme î/p=zx*, où p et q sont deux nombres entiers suffisamment grands. Il y a pour x<^0, ou 2/<C0, des difficultés de signes et même de définition sur lesquelles nous n'insisterons pas. Pour x et y positifs, la généralisation est évidente : nous obtenons des courbes qui s'intercalent entre celles de ce paragraphe et celles du paragraphe précédent.
Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 4
On vérifiera immédiatement que si (J '. p est compris entre les deux nombres entiers /i et n-\-\, la courbe y^=:x''^ dont
s'intercale entre les deux courbes :
Téquation peut s'écrire y
yz=x^^ y ^=00
Comme nous le verrons, les logarithmes permettent de calculer aisément les courbes point par point, quel que soit le nombre n.
