Homographie dans le plan
/°. — On dit que les points de deux plans P et P' se correspondent homographiquement quand les coordonnées .r, î/, du point A de
P, sont reliées aux cordonnées x' , les formules :
y'j du point conjugué A' de P' par
ax
ty'+d '
A la différence près ([u'elles renferment deux variables, elles sont de la forme de l'équation (1) du § 346. Résolues par rapport à a? et à y, elles sont encore de la même forme : les seconds membres sont respectivement les quotients de deux fonctions linéaires, le dénominateur étant le même pour les deux quotients.
^°. — A une droite de P correspond une droite de P', et inversement. Soit en effet :
une droite de P'. Substituons k x' et h y' leurs valeurs (1). Grâce à l'identité des dénominateurs , on obtient une fonction linéaire en X et y.
3^. — A toutes les droites (|ui passent par le point A de P , correspondent dans P' des droites qui passent par le point A' conjugué de A. D'où résulte ({u'à des droites parallèles de P (droites se coupant en un point à l'infini d.tns P) correspondent dans P' des droites passant par un point qui n'est généralement pas à l'infini, comme nous le verrons.
•^". — A une coiii(|ue dans P correspond une conique dans P' , et inversement.
Hemauùue. — Les axes de coordonnées dans P et P' ne sont pas nécessairement rectangulaires. Obliques, rien ne suppose qu'ils font le même angle.
357. Propriétés de la correspondance homographique. /". — Prenons pour axes de coordonnées dans P , les droites conjuguées des axes de coordonnées dans P ; les origines 0 et 0' sont évidemment conjuguées. Les équations se simplifient ; il faut en effet qu'à la droite ir = 0, corresponde identicjuement la droite x' = 0; de même (juà la droite y=z{), corresponde identiquement la droite y'=zO.
Les équations prennent la Forme :
, OCX , {iy
^ — ax + by + (/ ' -^ — a.r-4- by-\-d '
Résolvons par rapport à j" et à y :
d^x doçy^
^~~ a^x' -f ahy' — a -i ' .'/ — — a^x' + ocby' — a? ' '
Posons : p=z-^ ^ p = '7 ; il vient : /) := p.
^". — Aux points de la droite : ^t = ,}./• -|- />//-)- </==0, du plan P correspondent les points de l'infini du plan P'. Aux points de la droite : $' r= a^r' -|- ocby' — a^ = (),
du plan P' correspondent les points de l'infini du plan P.
La correspondance homographique générale n'a pas grand intérêt ; bornons-nous à en étudier des cas particuliers.
