Pro priétés de Taxe d'homologie
/". — Une correspondance homologique est définie par les trois droites $,<!>', H, etlepointO.
Soit donnée une droite D ; on demande de construire sa conjuguée D' (fig. 227).
D rencontre la droite ^ï> au point B. Menons OB ; le conjugué de
Fig. 227.
B est à l'infiiii dans la direction OB. Donc D , meiiée paj- A (qui est point double) parallèlement à OB, est la droite cherchée.
Inversement, D' rencontre 4>' en E'. Menons OE : le conjugué de E' est à l'infini, dans la direction OE. Donc D menée par A parallèlement à OE' est la droite conjuguée de D'.
Corrélativement on vérifiera que OBAE est un pamllélogi-aoïine : cela résulte de la relation énoncée à la fin du pai-ag-iaphe pi^écédent,
9''. — A toute droite D du plan P parallèle à H correspond dans le plan P' (superposé à P) une droite D' éj^lomcnt parallèle à H.
En effet, ces droites doivent se couper sur 11. et 1) ne coupe H qu'à l'infini.
S". - Si nous avons délermim^ deux points conjugués sur une droite quelconcjue passant par O, nous obtiendrons deux points conjugués sur une autre dioite passant par 0, en menant par les premiers des parallèles à H.
-/". — Sur les axes, O// pai exemj)K', les points conjugués forment deux divisions homographi(jues dont Jes points doubles sont 0. r,.
En effet, on a généralement :
.r = .r r— 0, /ji/y -j- dy' - // =rz 0 :
pour les |)oin(s doubles :
11 résulte de là et du ,f' (juc, sur toutes les droites passant par O, les points conjugués foinienl deux divisions iiomographiques.
— Nous
;> . — i\ous comprenons maintenant en (juoi ct>nsiste Isi conespondance homologique.
Nous îivons un faisceau de droites passant par un point O.
Sur chacune de ces droites nous établissons une correspondance homographique avec la condition que le point 0 soit double pour toutes les droites et (jue le lieu des seconds points doubles soit une droite H (que nous appelons axe d'homologie). Nous posons de plus ([ue le lieu d un des foyers est une droite 4» parallèle à Taxe d'homologie,ce cpii entraîne la même condition pour le lieu ^' de l'autre foyer.
Naturellement si, sur chacune des droites passant par 0, ^Bt&iàs rapportons les points conjugués aux foyers, les équations prennent
Ut
la forme (4) du § 347 ; la valeur de la constante dépend de la droite choisie. Par exemple, sur les axes, oïi a :
6". — On définit parfois Thomologie en disant que le quotient des
ÔÂ EÂ
rapports (%. 228)
