Transformation homogène

/". — On dit (jue la translorniation est Jiomoyène lorsque les é(|uations de l'homog-raphie deviennent :

Les, droites 'ï> et •!>' sont allées à l'inlini. Si dans les plans P et P', nous prenons comme axes de coordonnées deux systèmes de droites conjuji;'uées, les équations se simplifient et deviennent (§ 357) :

.r'rrra.r, y—'i^y- (2)

Mais ces systèmes d'axes sont généralement oblicjues, et les axes ne foiit pas nécessairement entre eux le même aiij^le dans les deux plans.

:^^ — Droites doubles.

Superpt)Sons les plans P et P' de manière à faire coïncider les oiigines que nous prendrons conjuguées, ce qui laisse encore une arbitraire. Les éfjuations rapportées au même système d'axes d'ailleurs quelconque^ sont :

x' =z a iX -f- b^y , y' = a^x -\- b^y . (3)

Remarquons d'abord (pie les conjuguées des droites qui passent pai

oriiiine

.^...v , passent elles-mêmes par l'origine : en effet, l'origine est par hypothèse un point double.

Je dis qu'il existe deux droites doubles^ c'est-à-dire deux droites qui sont leurs propres conjuguées.

La condition pour (juil en soit ainsi, est :

x' X a^x-\-byy aiX-\-b^y

a.2X- — b,y- + (/>, — a,) xy =z 0,

Ces droites sont toutes deux réelles ou toutes deux imaginaires. Elles sont généralement obliques. Prenons-les pour les axes de coordonnées ; nous pouvons ramener les équations à la forme :

• x'=zax, y' = ?>y.

Il a fallu choisir nos axes de coordonnées parmi l'infinité de systèmes de droites conjuguées passant par l'origine ; mais maintenant les axes se correspondent à euoç-mêmes.

Il est important de remarquer ({ue la position des droites doubles dépend, pour une origine commune choisie, de la façon dont nous avons superposé les plans P et P', ce qui peut se faire d'une infinité de manières.