Transformation homogène symétrique

/°. — Un cas fondamental est celui où, les é(|uations (3) étant toutes deux rapportées à un système d'axes rectangulaires, on a la condition :

« Dans l'équation (4), les coefficients de r- et de ?/- deviennent égaux

et de signes contraires. Le produit des racines de l'équation résolue

pa,r rapport à // ; x est égal à — 1 . Donc les droites doubles sont

rectangulaires. 11 existe donc deux droites rectangulaii*es, qui sont

leurs propres conjuguées. En les prenant pour axes, les formules de

transformation ont naturellement la forme simple :

^°. — Interprétation géométrique.

Insistons sur l'interprétation géométricpie de ce résultat.

Transformons le cercle : x"^ -j- y'- = R-. Il devient l'ellipse (nous supprimons les indices inutiles) : {ax -f mj/Y + {mx + hijY = R% .-^.2 (^,2 ^ ^2^ | y, (/^2 | ^2) ^ 2m {a + h) xij = R^

Montrons (pie deux diamètres rectangulaires du cercle se transforment en deux diamètres conjugués de l'ellipse.

Soit />! et /).2 les pentes des premiers diamètres; on a : p^p^::= — 1.

Soit a?i, ?/j ; x'^^ y\, les coordonnées de leurs extrémités. Entre les coordonnées des points conjugués de l'ellipse, on a les relations :

2/i ^ my^ -|- hy^ y\ mx., -\- hy.,

— r = Pi = ; 5 -^-r = p., = , •

x^ ^' aXy-\-my^ x^ ^* ax.2^ my^

D'où la condition :

[mxy -f- />;/,) (m.r, -|- by.^ -\- [ax^ -\- my^) [ax^ -\- rny^ = 0 . (1 )

Posons : ^^ ^ "^ ' ^^ = ^ •

La condition (1) devient :

qui est précisément la relation générale existant entre les pentes des deux diamètres conjugués (§ 113).

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 28

Or il existe deux diamètres conjugués de l'ellipse qui sont rectangulaires : ce sont les axes. Ils correspondent aux deux diamètres rectangulaires du cercle qui leur sont superposés.

Si nous les prenons pour axes de cooidonnées, le cercle : .t'* -j- ?/'« — R2, devient l'ellipse : a-x- -[- '^-y'' = 1V-.