Pure rotation

Un autre cas particulier de la transformation homogène est la pure rotation. Proposons-nous d'établir directement les formules de transformation. Soit A, A', deux points correspondants (fig. 230).

On;» : OA = DA'r=/*, a' — x^ 6= constante.

x' = r cos a' == r cos (a. -|- O) = r cos a cos 0 — r sin a sin 0,

y = X cos 0 — // sin 6, y' r=r r sin y.' = r sin (a -\- 0) = r cos a sin h -{- r sin a cos 0, ?/' = X si n 0 -[- // cos 0 .

Les coefficients des foiinules (3) du >{ 3()1 , rapportées à des axes

rectangulaires, doivent satisfaire aux relations :

On comparera les formules (1) et les formules relatives aux changements d'axes de coordoimées avec conservalion de l'origine (5j 78).

Le problème est effectivement le 0 C B même.

Fig. 2:^0. 364. Homothétie.

lahonwt/iétie peut être dérivée soit de la transformation homogène, soit de YJiomologie. Lorsque l'axe

d'homologie va à l'infini, on a l'homothétie.

Les équations se réduisent à (§ 29) :

x = x'd, yz=zy'd^

qui apparaissent aussi bien comme des cas particuliers de la transformation homogène.

Les droites <î> et <ï> vont naturellement à rinfini.

Une figure homothé tique est donc obtenue en multipliant par un nombre constant tou-

ce

Fig. 231.

les rayons vecteurs issus d'un point fixe {centre dliomothétie) et aboutissant aux points de la figure donnée. Soit (§ 80) r, 6, les coordonnées polaires d'une courbe ; rd, 0, seront les coordonnées d'une courbe homothétique.

L'homothétie s'obtient par perspective quand les plans P et P' sont parallèles (fig. 231). La droite SO'O de la figure 229 devient la perpendiculaire abaissée du point S sur l'un ou l'autre plan. Le rabattement consiste en une translation parallèle à SO'O.

Les droites issues du centre 0 et tangentes à la cour])e G sont évidemment tangentes aux courl)es homothétiques.