Similitude

Soit deux figures homothétiques. Déplaçons-les arbitrairement dans leur plan ; elles deviennent semblables. Il n'y a entre l'homothétie et la similitude d'autre différence ([ue la position accidentelle des figures. Ainsi deux triangles sont semblables quand ils ont leurs angles respectivement égaux. Cela ne suffit pas pour l'homothétie ; il faut encore (|ue les droites joignant les sommets homologues passent par le même point.

Applications.

/". — Toutes les paraboles sont semblables. En effet, convenablement orientées et déplacées, elles rentrent toutes dans la forme :

;/- = 2px, r cos-6 = 2/> sin 0.

Modifier le paramètre p revient, pour toutes les valeurs de 0, à multiplier le vecteur r par un certain nombre invariable.

:^°. — Pour que les coniques à centre soient semblables, il faut évidemment (ju'elles soient du même genre, ellipses ou hyperboles.

11 faut ensuite que leurs axes soient proportionnels.

Après translation et rotation, les coniques semblables d'un faisceau peuvent donc être mises sous la forme :

a et b sont les mêmes constantes pour toutes les courbes du faisceau : k varie d'une conique à l'autre.

Le signe -|- convient aux ellipses, le signe — aux hyperboles.

3°. — Supposons les coniques semblables. Pour qu'elles soient homothétiques, on vérifiera facilement sur l'équation polaire que leurs axes homologues doivent être parallèles. La communauté de centre que suppose l'équation (1), est un cas particulier : dans la perspective de la fig. 231, les centres se trouvent alors sur la perpendiculaire menée de S aux plans P et P'.

Homographie dans l'espace.