Contacts de divers ordres d'une droite et d'une courbe

y**. — Reprenons la fonction 7/ = Ax", où n est entier. Nous savons que la courbe (faisceau 1 des paragraphes précédents) est tangente à Ox pour x=zO. Etudions la manière dont elle se comporte par rapport à 0.r, au voisinage du point 0. Pour cela, remplaçons la courbe î/ = Ax'', par :

où a, h, ... sont des quantités arbitraires et très petites. Pour sim-

npajr

71 2/77JDâ/r

Fig. 25.

plifier, nous les supposerons toutes positives ; elles sont rangées dans l'ordre des grandeurs croissantes.

Chaque fois qu'en croissant x traverse une des valeurs a, />, c, .. le facteur correspondant: x — a, x — /;, ... passe d'une valeui négative à une valeur positive; la fonction y change de signe.

Deux cas à considérer : /i pair et n impair. Les courbes correspon dantes sont représentées dans la figure 25; elles supposent n = ' (à gauche), n = 3 (à droite). Nous résumons les résultats en disan , que la. droite y = (i coupe la courbe (1) en autant de points qu'il y a. de facteurs ^ le nombre des points d'intersection est n.

^. — Faisons décroître les quantités a, />, c, ...; les boucle» s'atrophient. A la limite ^ quand a, b, c, ... s'annulent, on retomb î sur la courbe y^Ax"". Généralisant l'énoncé, on dit que li

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

courbe y=zAx'' possède avec la droite 2/ = 0 un contact d'ordre n. Si le contact est pair, la courbe reste du même côté de Oo?, de part et d'autre du point 0 (au-dessus si A^O, au-dessous si A<<0). Si le contact est impair, elle passe d'un côté à l'autre.

n = 1 correspond à la simple intersection ; /i = 2 , à la tan-

//7j7ex/o7?

gence ordinaire; n m 3 , à l'inflexion. Ce sont les trois ordres de contact qui interviennent habituellement (fîg. 26).

S°. — Cherchons comment se comporte la dérivée dans les trois cas :

?/ = Arc",

z = -^ = Anx' dx

Le contact de la dérivée avec la droite Oa? est d'ordre n — 1 (§43).

Pour n = 1 , la dérivée est constante , la pente de y est invariable.

Pour n = 2, la dérivée est une droite qui passe par l'origine. Elle s'annule alors, indiquant un maximum ou un minimum de la fonction. On constate, en effet, que la pente de la courbe y varie toujours dans le même sens : négative et très grande en valeur absolue sur l'arc AB, elle croît, s'annule au point 0, continue à croître pour devenir positive et très grande sur l'arc CD.

Pour /i = 3 , la dérivée est une parabole : elle présente un maximum pour rr=:0. La pente de la courbe î/, négative et très grande en valeur absolue sur l'arc EF, croît et s'annule au point 0. Mais elle recommence alors à décroître.