Points alignés sur deux droites et une courbe

/". — Prenons comme axe ()// une droite écpiidistantedes droites u et r dont la distance est 2$. Ecrivons que la droite ABCD définie par les longueurs EA = u , ¥D = v , passe par le point G de coordonnées X, y. On trouve immédiatement la condition :

F JC

Fig. 237.

Ceci posé, définissons cha{|ue point tle la courbe GG par une valeur de la variable auxiliaire w. Posons donc :

a? = 9(u'), y^<}j{xv).

L'abaque permet de résoudre à vue la relation :

Mw) — u

5 — 9(îf')

oM

î^**. — Abaque de l'équation du second degré lif- -j- uwj -j- u = 0.

Posons

Substituons dans (1) ; nous retrouvons la forme (3). Pour résoudre à vue Féquation (3) , il suffît donc de construire la courbe unicursale (4) ; une courbe est unicursale lorsque les coordonnées de ses points s'expriment rationnellement en fonction d'un paramètre.

On vérifie aisément que c'est une hyperbole.

Elle est tangente à Oa:^ au point F pour iv = 0 ^ x = ^ ^ ?/ = 0 ; elle est asymptote à la droite x = — o [w = oc, y = — oc).

Fig. 238.

Pour déterminer l'autre asymptote, remarquons que le rapport

1 îi)~

vaut —

quand iv est égal à — 1, c'est-à-dire quand x et y deviennent simultanément infinis. Connaissant la direction de l'asymptote,

calculons ce que devient : y -{- -^ , quand w = — 1 . On

trouve :

L'hyperbole est ainsi complètement déterminée. Nous laissons au lecteur le soin d'achever la discussion.

La figure 238 représente la moitié de la courbe; on a inscrit dessus les valeurs tv qui servent de cotes à ses points.

S°. — Abaque de l'équation trinôme du TROisièME degré. Soit l'équation complète mise sous la forme :

Posons: w=:z-\-A, z=ziv — A.

Le terme en tv- disparaît. On ramène donc immédiatement à la forme (comparer au § 226) :

2&^ -\- uw -|- r = 0.

L'abaque se construit comme le précédent :

1 IV — w"^

Cette cubique unicursale possède un point d'inflexion et un point de rebroussement. Le point d'inflexion est en F et correspond à 1^ = 0. L'axe des u est la langenle de rebroussement; le point de rebroussement est du reste à l'infini.

Le lecteur construira la courbe par points. Grâce à la méthode cidessus indiquée, il calculera la position de la seconde asymptote qui correspond à 7c^=~ — 1. Il trouvera : 2^//:==r — 5$.

Nous ne saurions trop lui conseiller de tracer à grande échelle les abaques précédents et de vérifier expérimentalement leurs propriétés.