Définition analytique des surfaces

Nous supposerons les points rapportés à des axes de coordonnées rectangulaires (fîg. 239).

i\ — L'équation d'une surface peut être mise sous la forme :

z = fir,,j). (1)

Elle signifie qu'en tout point B du plan xOy , nous élevons une perpendiculaire ; nous prenons dessus une longueur BB' égale à z ; nous déterminons ainsi un point B :

l'ensemble de ces points est une surface.

Si pour chaque point B' , l'équation (1) fournit plusieurs valeurs de z , nous portons ces valeurs BF, BF',... sur la normale élevée en B au plan xOy.

Nous pouvons systématiser la manière de prendre les points du plan xOy.

Donnons à y la valeur constante OA = î/o, et faisons varier x- A la droite ABC du plan xOy correspondent une ou plusieurs courbes :

Recommençons pour d'autres valeurs de y suffisamment rapprochées. Nous découpons le plan xOy en bandes par des droites parallèles à Ox; corrélativement nous déterminons la surface par un faisceau de courbes qui se trouvent respectivement dans des plans

Fig. 239.

pantllèles à xOz : elles sont les intersections de la surface par ces plans.

Opérons de la même manière au moyen de droites parallèles à Oy, d'é(|uations xz=zXq.

Nous traçons maintenant le faisceau des courbes :

qui sont les intersections de la surface par des plans parallèles à 7jOz.

Nous sonmies tout naturellement conduits à considérer les pentes et les courbures de ces courbes. Nous utiliserons donc fréquemment les dérivées partielles de :; par rapport k x et k y.

Pour sim|)li(ier l'écrituie, nous jjoserons :

__ ùz àz

^— àx ' "J— hy '

Ox- ' ' ô.rù// ' ôî/* '

t^". — Génénilisons ce (pii précède. Soit le système :

oîi II et V sont deux paramètres auxiliaires variables.

Donnons à i' la valeur i\, et faisons varier //. Les é(juations :

X=io[u,V,), y = y(u,Vo), (2)

représentent une courbe dans le plan xOy. Cha(jue point de cette courbe est caractérisé par une cert.aine valeur du paramètre u , d'où résultent pour 3 mic ou plusieurs valeurs :

Z=z'}^{u,Vo).

Nous traçons donc l'intersection de la surface avec le cylindre dont les génératrices, parallèles à Oz, s'jtppuient sur la courbe (2). Recommençons pour diverses valeurs de v : nous déterminons sur xOy un faisceau de courbes, et nous considérons la surface comme engendrée par les courbes dont les précédentes sont les projections orthogonales sur xOy.

Nous aurions pu cht)isir v comme la variable et u comme le paramètre définissant chacpie courbe d'un nouveau faisceau :

X = (^{Uo,v), y = y{uo,v). (3)

Le plan xOy est alors ({uadrillé par les faisceaux (2) et (3); la surface est déterminée par les courbes correspondantes.