Arc de courbe tracée sur la surface

/" — Cherchons l'expression de la longueur ds d'un arc de courbe tracée sur la surface. Les coordonnées de deux points voisins sont :

dx.

z + dz.

Leur distance est donc (§ 316) :

ds^=:dx^'-^dy^--^dz\ On a (§ 9) :

dz = ^^dx-{- ^^ dy =pdx

qdy.

ds^ = {\ +p"^)dx'--^2pqdxdy + {\ -^ q^~)d if = Edx^~ -^ 2F dxdy-{- G dy\

^°. — Cherchons rexpression de la longueur cis dans le cas où la surface est donnée par les paramètres ii et v. On a :

(Ix = -'- (lu + -7-- (h , (lu = ^~ du 4- ->~ dv ,

6n ' ôf ' •'' Ou "^ Ov '

J3 =-: -— - du -\- -—- dv.

Ou ' ùv

Substituons dans (1) et posons :

„ Ô.T ^x hy ày ^^ hz àz

6u Ov ' Ou Ov ' Ou Ov '

D'où : ds' = lv///« -[- 2Vdudv -f GJî;"-.

,^". — Dans la [)remièro manière de repérer la surface, on pose :

x=zu, ji^^v.

D'où :

(>.r dx Oij Oz hz

Ou dx ' Ou ' Ou ôx ^'

Ôî7"~"' ô^/"~(//7~" ' Ov~'ôy'^^''

conformément aux résultats du /".

4'\ — Appli(juons à la sphèie

E=rr'-c()s't;, Gr=r% F = 0.

(/s- =r rhîv'^- -\- r- cos -r . du-.

On retrouve aisément cette formule sur la Hj^ire :

DC' = BD' + BC*= rV/r^-f- AB\ du' = r^dv' + r' cos ^v . du\