Plan tangent. Normale

i'\ — Ditlérentions ré(|uaticni : z= f[x^ y). Nous obtenons :

dz =:p(Ix -\- qdy.

L'étjuation du plan (anp^ent à l;i surface est donc (,^ 322) :

r.-Z = Mx-X) + 9(,,y-Y). (1)

p et q sont les valeurs ([ue prennent les fonctions p et q au point de contact X, Y, Z; les coordonnées courantes du plan sont x, y, z.

La normale est la droite perpendiculaire au plan tangent qui passe par le point de contact. D'où ses équations (§ 319) :

SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 447

Ses cosinus directeurs a, |3, Y) ont pour valeurs :

9''. — Écrivons que le plan :

contient les points de la surface voisins du point de contact. Nous devons donc avoir identiquement :

adx + hdy + cdz = 0 , (4)

au voisinage du point de contact.

Exprimons cette condition au moyen des paramètres u et v. Écrivons donc qu'elle est identiquement satisfaite pour des valeurs quelconques de du et de dt\ à partir d'un système donné u, v.

Cela revient à substituer à dx, dy, dz, leurs expressions ci-dessus données (374, ^'') en fonction de du et de dv ^ puis à annuler les coefficients de du et de dv dans la condition obtenue. On trouve :

Ox ùy .

~6x . .by .

àv

Nous devons donc poser (§ 28) :

en écrivant pour simplifier :

. by bz bz 6y bz bx

bu àv au àv ' au àv

àx àz au àv

àx ày au àv

ày àx au àv '

L'équation du plan tangent est par suite :

A(x — X) + B{y — Y) -I- C(^ — Z) = 0, Posons : D^^ == A^-i~B'-^0 = EG — F\

Les cosinus directeurs de la normale sont :

Les équations de la normale sont :

Pour utiliser ces équations, nous substituons à u et à z; dans A, B, G, les valeurs des paramètres qui correspondent au point de contact X, Y, Z.

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