Angles des courbes u = Constante, ^' = Constante

tracées sur la surface.

Élément d'aire.

/". — En un point de la surface , déterminons - Tiingle (.) que font entre elles les courbes v = Constante, « = Constante, qui y passent (§ 372, ^^).

Los accroissements des coordonnées sont respectivement pour ces courbes :

Fig. 241.

d,x=^'^du,

d^^x = -r— dv ,

^^iH

ùu

fIiZ = — " du ou

(/.,3r= -f-dv

puisque dans les équations du i:; 374 , t^", nous devons poser dv =z 0 pour la première, du = 0 pour la seconde.

Soit (/,s et d^s les éléments d'arcs correspondants.

Les cosinus directeurs de ces éléments sont j)ar suite (§ 316, ;^**) :

d^x d,i/ d,z ^ diS ' d^s ' d^s ■

On a, d'après le Ji 374 :

d^s = \'K du.

d2S=i\lG dv.

Le cosinus de ran«»'le o) est (^

fhx ^x , (^7 ày ""''^''^yùu 6v + i)u ùv

ùz ùz\ dudv ùu ùv J diSd^s

F y/EG

D'où

COS (ù

sni (ù

t^'\ — La condition pour que les courbes u = Constante, v = Constante, soient orthogonales est donc c/u'on ait identiquement F=:0.

Nous avons trouvé cette condition satisfaite pour la sphère quand u et v représentent la lonj^itude et la latitude. Sur toute surface on peut, et généralement d'une inlînité de manières, choisir les variables auxiliaires u et D telles qu'il en soit ainsi (ij 385).

U faut, pour que la conséquence subsiste, que D ne soit pas simultanément nul.

SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 449

S°. — L'élément de surface est un parallélogramme dont les côtés d^s et d^s font l'angle w. Son aire dS a pour expression (§ 68) :

c/S = diS . d^s . sin (o = D . du dv = y' KG — b'^ . du dv. Dans le cas où l'on prend pour variables u, v, les coordonnées

x^ y, on a : JS = \/d -)-/>- -^ y- ,dxdy.

4"". — Si D est constant pour toute la surface, les courbes dont les paramètres sont :

u„ Uo-{-a, Uo-\-2e, ...; Vq, î^o + ê, ^o + Ss, ...

la découpent en parallélogrammes infiniment petits d'aire constante.

377. Angle d'une courbe tracée sur la surface avec l'une des courbes u = Constante , y = Constante.

i°. — Généralisons le problème du paragraphe précédent. Suivant AG(f/f = 0), on a (voir plus haut) :

d,x = -^—du, diij ^-r— du . d^z==^^ — du.

* Oii ' ^^ ou ' ^ Ou

Suivant AB , on a :

- àx , . àx j - hi/ . , ô?/ ,

doX = -^-- du-j- -^- dv, d.,ij = -r^ du-[-~~ dv,

■^ Ou ' (^v ' -^^ au ' ùv '

d.,z = . — du -\- ^ — dv.

■^ ùtz ' àv

D'où (§ 374, ^") :

-^ du- , ^ du dv EduA-F dv

cos 0 = E —, — 1— -4- F , - . = -^= ■■ -' — , .

(/,.s' (/,.s- T- ci, s d,s y K y K (7^2 | 2F dudv-{-G dv^

dv : du =p, mesure la pente de la ligne AB par rapport aux lignes du faisceau u, v, considérées comme axes de coordonnées obliques dans le plan tangent :

E + Fp

V/E VE-f2F/) + G/)^

^". — Il n'est pas plus difficile de trouver l'angle a de deux courbes dont les pentes sont p et p' . On a :

E + F(p + p') + Gpp'

COS a

\/E4-2F^+ Gp^ V E+2Fjo' + G/>'~^ On retombe sur la forme précédente en faisant /)'=rO.

Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse. 29

Surfaces de révolution.