Surfaces de révolution : équation générale

/". — Cherchons ré([iiali()ii <>énérale dune surface de révolution admettant pour axe de révolution la droite AB (fig. 242) :

x=p-\-lz, }^=zq^mz. (4)

Du point A de coordonnées p, q, comme centre, traçons des sphères :

(^-pf+hi~-'if+^='-'- (2)

Coupons -les par des plans normaux à la droite (i) :

Les intersections des sphères (2) par les plans (3) sont des cercles

normaux à AB et dont les centres sont sur AB. Tout parallèle d'une surface de révolution admettant AB comme axe peut être obtenue par un choix convenable de o et de r, ou de la distance du plan (3) à l'origine (à un facteur constant près), et du rayon de la sphère qui a le point A pour centre. La surface entière sera donc tracée par des parallèles, si nous donnons la relation : r* = ç(S) ;

Telle est l'équation en termes finis de toutes les surfaces de révolution qui admettent AB pour axe; la fonction o est arbitraire. :^°. — Si l'axe est Oz, il faut poser :

p:=^qz=.l=im = {).

L'équation devient : x'^ -^y'^=:o(z) — s-,

ou encore, puisque (p est arbitraire :

p est la distance d'un point de la surface à l'axe de révolution.

Fig. -Ik-i

SURFACES. COURBES TRACEES SUR LES SURFACES

3". — On peut mettre réquation précédente sous la forme :

.r=p(t)) cos îz, ?/ = p(î;) sin u, z==z(v)^

ce qui revient à employer les coordonnées cylindriques (§ 315]

On trouve aisément

en posant : p ^^ ,

Js^^ = p2 du'- -\- (p'^- + z!^) dv\

G=rp'

dz , "" dv '

(/S=pVp'- + -'' . G?«c/u. (1) /". — Il est souvent commode de prendre pour variable v Tare de méridien compté à partir d'une origine arbitraire. On a :

dv'~ = dz' + f/p^ p'2 + a'- =- G == 1 , p = D ; .

dVm : (/5^-=:p2(/u2|^^.^ dS=pdudv. (2)

La condition F = 0, signifie ([ue les deux systèmes de courbes (méridiens, parallèles) découpent la surface en petits rectangles. C'est ce qu'indique d'une autre manière la formule dS = ^ dudv.

j"*. — Le plan tangent a pour équation (^ 375, 3") :

r,' cos u {x — X) + z' sin u(y — Y) — p'{z — Z) = 0.

Les cosinus directeurs de la normale sont :

cos II

z sm u

37 9 .Déformation simple d'une surface de révolution; balustres rampants.

Les architectes appellent rampant tout motif d'ornementation qui procède par ligne ascendante ou descendante ; par exemple, ceux ([ui ornent une rampe.

Le balustre est la figure de révolution qui constitue l'élément de la balustrade.

Quelle déformation doit -il subir pour la balustrade rampante?

On imaginera qu'aux z de la surface de révolution sont ajoutés les z d'un plan ; l'équation générale de la surface déformée deviendra (fîg. 243) :

z + Kx-\-^y = ^{x^ + if).

Les horizontales du plan z = Ax -\- By , sont perpendiculaires au plan vertical de symétrie de la rampe. Si nous prenons celui-ci pour plan xOz, l'équation se réduit à : z-\~ Ax = 6[x^ -j- y^j.

Fig. 243.

Le profil du balustre ({ui est dans le plan yOz n'est pas déformé; le profil le plus déformé (représenté par la fig-ure) est dans le plan xOz. Partout où la surface de révolution est tangente à un cylindre vertical, la surface déformée est tangente au môme cylindre.

380, Aire des surfaces de révolution ; théorème de Guldin.

1' . — Le calcul de raii'e dune surface de réxolulion se ramène immédiatement à une intégrale simple, quand la surface est limitée par deux parallèles; u varie toujours de 0 à 2:: ; on a (,^ 378, ''2'') :

S =/r^S =z ffp du dv = fdu fp de = 2- l 'c de.

L'interprétation de cette formule est évidente (fig. 24 i). La surface

est décomposée en troncs de cùne élémentaires, de ravon moven

dont l'élément de fféné-

ratrice est CD = dv, dont suite la surface latérale est :

par

Thkohkme de Guldin.

issimilation à nos définitions du !^ Iti'i relatives à une aire, nous apjK'lons moment statif/ue crune couihe plane par rapport à un axe Or situé dans son plan, l'intégrale:

Fig. 2Vj.

Uaxe neutre parallèle à Oz est une droite située à une distance p, de Oz telle (pie :

,Jdv=J p

D'oîi résulte (pie Taire de la surface engendrée par une courbe plane (située tout entière d'un côté de l'axe, pour éviter les difticultés de signes) est égale au produit de la long-ueur de la courbe par la circonférence cpie décrit un point (pielconque de l'axe neutre.

S". — Si la courbe est symétri({ue par rapport à une droite parallèle à Taxe de révolution (par exemple, fig. 245), cette droite est son axe neutre. En efYet, à tout élément dv situé à une distance p de cettt droite correspond un élément de même longueur, situé de l'autrt côté de la droite à la même distance. Par rapport à cette droite le moment statique :

Jpdv, est nul , puisqu'il se Compose d'éléments égaux et de signes contraires

SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES