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/". — Aire d'un anneau.

On appelle tore la surface engendrée par une circonférence tournant autour d'une droite Oz de son plan. L'axe neutre parallèle à Oz est évidemment la droite MN qui passe par le centre G (fîg. 245).

Le théorème de Guldin donne pour l'aire totale du tore :

S = 2t.p, .27rR = 47umpi.

Nous avons prévenu des difficultés de signes quand la courbe rencontre l'axe. Si nous placions le point G sur Oz, nous trouverions S = 0. La surface est cependant celle d'une sphère , soit IttR-; mais elle doit être prise une fois positivement, une fois négativement.

^**. — Aire d'une calotte sphérique.

Appliquons la formule générale à la calotte sphérique de méridienne MN (fig. 244). Soit R le rayon du cercle.

On a : arc MN = Re , dv^=^ Rg?6 , p = R sin fj ;

S =^ 2::R^ H sin 0 . dh = 27rR-(l — cos G) .

C'est la formule du v^ 75.

Pour une zone comprise entre les angles Oo et Oi, on a :

S = 2t:R^( 1 — cos 0,) — 27rR^(l — cos 6o) = 2xR2(cos Oo — cos e^) ;

S = 27:R(R cos Oo — R cos eO = 27:Rh ;

h est la hauteur de la zone.

,f\ — Ellipsoïde de révolution.

Fig. 245.

La méridienne est On a :

c == a? , dv^ = dx^- -f dz^ = dz""

SLH^-\-h'x^

\JJj' — (h^ — a')z^ .dz.

Deux cas à considérer.

Si V ellipsoïde est de révolution autour de son grand axe, il faut poser :

h^a, \jly^—^''=^be. Par différentiation on vérifiera

la formule :

-r^- arc sin -r e- b

COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉnALES

C'est l'aire comprise entre le plan é(|uateur zz={) vX un plan parallèle quelconque.

Pour z=:h^ on a :

S = Tji- -\ are sm c.

C'est l'aire de la moitié de rdlipsoïde. On retrouve bien 2ira^ pour a=zJ) (e'est-à-diri! pour la sphère), jiarce que le quotient arc sin r ; c, tend vers l'unité (piaiid r s'annule.

Si r ellipsoïde rsl (h révolution autour de son petit are, il faut poseï- :

l> <C '^ \ «*' — />' 'fc- On vériliera la ff)rmul(* :

Tua^e

V^^+^ + X|"<=+\/iï^+-)-"'^^1

Pour c. ii:r:/>, on a la moitif de l'aire de l'i'llipsoK S

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