Généralisation

/°. — L'allure des courbes au voisinage de l'origine resterait la même si , au lieu de y=^ Aa?", on avait :

î/=rAa;"9(a?), '

où (^[x) est une fonction continue quelconque à laquelle nous imposons seulement de ne pas s'annuler pour a? = 0; (p(0) ^ 0. Assurément les ordonnées de la courbe sont modifiées par l'action

du facteur rf[x) ; mais la nature du contact ne l'est pas. C'est évident d'après la figure, puisque la nature du contact ne dépend que du nombre des points d'intersection de la courbe par la droite y = 0 , points confondus au point 0. Le facteur 9(3?), qui ne s'annule pas pour a7r=rO, ne modifie pas ce nombre.

On peut aussi considérer que la nature du contact dépend du nombre des dérivées d'ordres croissants qui s'annulent en même temps que la fonction, nombre que ne modifie pas la présence de (p(ic). Nous reviendrons plus loin là-dessus (§ 43).

5". — La fonction : y = A{x — aY(^(x), se traite comme la précédente.

Posons en effet : x — a = X;

elle devient : ?/ = AX'*(p(X-[-a).

Nous transportons ainsi l'origine des coordonnées du point 0 au

Fig.

point 0 tel que 00' = a. Le point A, par exemple, qui avait les coordonnées x = BA, y = DA, conserve la même ordonnée y, mais prend la nouvelle abscisse (fig. 27) :

X = GÂ = BA — BC=:x — a.

Nous raisonnons sur X comme précédemment sur x, La fonction (p(.r), qui ne s'annulait pas pour x=^a^ ne s'annule évidemment pas davantage pour X==0.

35. Fonctions )y.r''=:l, y^x^l, pour n positif et entier (hyperboles).

Les courbes î/jc"=::1, xy'*=[, sont symétriques par rapport à la droite y=x; nous ne considérons que les premières pour simplifier les figures.

Si n est pair, y ne change pas de signe quand, on remplace x par — x\ donc la courbe se compose de deux branches symé-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

triques par rapport à Oy (fig. 28). Si n est impair, y change de signe; la courbe se compose de deux branches symétriques par rapport au point 0 (fîg. 29).

Quand x tend vers 0 , y croît indéfiniment : on dit que les courbes

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Fig. 28.

admettent Oy pour asymptote. L'asymptote est une droite dont on s'approche indéfiniment sans Jamais l'atteindre y quand on s'éloigne

72 j/npa/r

Fig. 29.

indéfiniment en marchant sur la courbe. On peut encore dire que l'asymptote est la tangente en un point de la courbe qui est infiniment éloigné.

Quand x croît indéfiniment, y tend vers 0; donc les courbes admettent également Ox pour asymptote.

Par rapport à son asymptote, la courbe peut se conduire de deux manières différentes qui correspondent aux contacts d'ordre pair et d'ordre impair étudiés au § 33. Faisons décroître x d'une valeur très légèrement supérieure à 0 à une valeur très légèrement inférieure. Si n est pair, y passe par la valeur conventionnelle infinie oc (quantité plus grande que toute quantité donnée à l'avance), en restant positif.

Si n est impair, y passe par l'infini en changeant brusquement de signe.

Il ne faut pas voir là une discontinuité réelle; nous retrouverons souvent ce passage brusque de -|-oc à — oc, ou inversement. Par exemple, deux droites parallèles sont censées se couper à l'infini; mais il est impossible de dire de quel côté.

Comparons deux courbes d'un même faisceau, pour des valeurs différentes de /i : il suffit de les étudier dans le quadrant xOy. Elles passent toutes deux par les points P et Q. La courbe de plus grand n est au-dessous de l'autre pour a: >- 1 ; elle est au-dessus pour 0 <Cx <^] . A la limite, pour n très grand, la courbe se confond avec TUO'0"VW.

Nous étudierons en détail (§ 117) la courbe xy=z{, qui esiV hyperbole équilatcre asymptote aux axes.

Généi\alisation.

Pour n quelconque, la généralisation est immédiate si l'on se borne aux valeurs positives de x et de y. On remplace le nombre n par un nombre fractionnaire voisin n = q',p.

La courbe prend la forme y^x'' = 1 .

Les logarithmes (§ 190) permettent immédiatement le calcul point par point. On démontre aisément que si le nombre n est compris entre deux entiers consécutifs, la courbe s'intercale entre les courbes qui correspondent à ces entiers. Plus généralement, les courbes se déforment d'une manière continue quand l'exposant n varie lui-même d'une manière continue.

On peut considérer les courbes étudiées dans ce paragraphe comme faisant partie du faisceau des courbes //zrrrx" étudiées plus haut ; il suffit d'admettre que n peut prendre des valeurs négatives.

On ramène les courbes yx"* = A aux précédentes par une dilatation convenable parallèlement à Ox ou à Oi/; autrement dit, en multipliant par un facteur convenable les ordonnées pour les mêmes abscisses, ou les abscisses pour les mêmes ordonnées.

Fonction entière : y = ax'' -{- baf -f- . . .