Position du problème
/". — On établit une correspondance point par point entre une surface et un plan, en posant sur la surface :
et sur le plan : H = <I>{u,f), r, = ^V[u^v).
Chaque système de valeurs u,v, définit un point A de la surface et un point A' du plan, supposé repéré au moyen des axes (rectangulaires pour simplifier) Q;, Qy]. Les fonctions <ï> et ^ sont arbitraires : le problème est donc pour le moment complètement indéterminé. On le détermine en imposant certaines conditions à satisfaire .
!?°. — Nous avons expli({ué comment les variables u,v, déterminent sur la surface deux IVnsceaux de courbes ([ui la décomposent en une sorte de quadrillage (§ 372, ;^"). Il en est de môme du plan. Parmi tous les modes de correspondance possibles, cherchons ceux qui font correspondre à un parallélogramme élémentaire de la surface un parallélogramme de même aire sur le plan.
Sans qu'il soit nécessaire de reprendre nos calculs, nous concluons du § 376, 3'\ où nous faisons ;3=:0, que l'aire d'un parallélogramme élémentaire sur le plan a pour expression :
c/1 = A . du dv = -< >- s- . du du.
\ Ou Ov Ou Ov 1
Il y aura donc égalité pour les aires élémentaires , si les fonctions <i> et ^ sont choisies de telle sorte (ju'on ait identiquement :
(^$ ^^' OW ()<I>
dI. = dS, : ;, - — ^ . rr= ^ D = -f- v/EG — F2 .
' Ou Ov Ou Ov — — ^
384. Application aux surfaces de révolution. Cartes de Géographie.
Reprenons les notations du § 378 , 4" ; choisissons comme variable V l'arc de méridien ; u est la longitude. On a :
^' ^ Ou Ov Ou Or — ^^ ^
/". — Méthodj: de Lambert. Posons : q = (p[u,v} = u -^
il vient : -^=^±o[v), r, = W(v)=±l c(v)dv.
Appliquons à l;i sphère. Pour (jue v soit l'arc de méridien compté à partir de l'équateur, il faut écrire (§ 373) :
x=zr cos — cos w , Il = r cos — sm u
z = r sm — .
r cos
cos — dv^^ r- sin —
Si donc nous voulons rcpivscntcr une sphère sur un phin de
FçUa
rpur
Pô/e Sud Fig. -iv;.
manière que les aires soient conservées, nous pouvons prendre pour coordonnées cartésiennes rectan«^ul;iires :
z = u, ■r=:r^ sui :
u est la longitude évaluée en radians, r est le rayon de la sphère, V : r est la latitude.
L'hémisphère sera représenté d;ins un rectangle de hase 2x (variation totale de la long-itude) , de hauteur r* {la variation du sinus quand v ', r varie de 0 à r ; 2 , est 1 ) , par suite de surface 2r,r^.
Les méridiens sont figurés p;ir des droites parallèles à Qy; ; leur distance est propoi-tionnelle à la vaii;ition de la lon«.(itude.
Les parallèles sont lij^urés par des droites parallèles à Q; ; si les parallèles représentés correspondent à des variations égales de la latitude, les droites tracées sur la carte se rapprochent à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur.
La figure 246 représente le canevas (jénéral ; les droites tracées correspondent à des variations de 30°.
Il est à peine hesoin de faire observer (jue ce système de cartes géographiques déforme- complètement les régions voisines du pôle :
SURFACES. COURBES TRACEES SUR LES SURFACES
Abl
elle les allonge à la longueur de l'équateur en les amincissant dans le sens normal, de manière que les aires soient conservées.
5°. — Méthode de Flamsteed. — Posons : 'ri = m*{u,v) = v;
il vient
<ï>(?7,y) =: wp(f ) -[- constante.
Appliquons à la sphère ; on trouve (en prenant la constante nulle) :
ru cos
ru cos — r
Les parallèles de la sphère sont figurés par des droites dont la
J^ûVe //ord
l'ç^c'/ei^r
FôJe Sud Fig. 247.
distance est proportionnelle à la variation de la latitude ; les méridiens sont transformés en des cosinusoïdes dont l'amplitude est proportionnelle à la longitude. Seul le méridien origine (wi^O) est transformé en une droite. La figure 247 représente le canevas général.
3°' — Plus généralement, si nous voulons que les parallèles soient figurés par des droites parallèles, nous devons poser :
5* du
Nous ajoutons une fonction arbitraire de v qui disparaîtra quand nous prendrons la dérivée partielle par rapport à u. Dans le cas de la sphère, on trouve :
/°. — Méthode de Babinet.
Imposons aux méridiens la forme d'ellipses. Déterminons les cons-
tantes de manière (lig. 248) qu'un hémisphère soit représenté dans un cercle de rayon yj2 r e d'aire r= 27: r-, que le grand axe des ellipses dirigé suivant la ligne des pôles soit constant, eniin que le petit axe soit proportionnel à la longitude du méridien considéré.
,^2v/2ru
11 faut écrire
r, =v2 ''sin o.
cos
/^û7e Nord
/"Ole Sud
Fig. 248.
OÙ (p est une fonction de l'arc v qu'il s'agit de déterminer. Identifions avec les relations ci-dessus établies; il vient :
W{v)=i\l2 rsinç;
On tire aisément de là, en dilférentiant la première équation, transportant dans la seconde et intégrant :
2o 4- sin 2 o = r sin
relation qui définit la variable auxiliaire o en fonction de la latitude ?' ; r. Les parallèles sont donc représentés par des droites parallèles (puisque (p n'est effectivement fonction que de v) dont les écartements sont fournis par l'équation (2V
SURFACES. COURBES TRACEES SUR LES SURFACES 459
Voici les distances relatives des droites parallèles à l'équateur, pour les latitudes croissant de 10 en lO"* :
latitude 10 20 30 40 50 60 70 80 90
distance 137 272 404 531 051 762 862 945 1000
Courbes orthogonales sur une surface.
