Réseau d'isothermes

/". — Nous savons déjà que la condition nécessaire pour que les courbes des faisceaux u et v soient orthogonales, est (§ 376, 9") :

Il s'ag-it maintenant d'obtenir que , les paramètres croissant d'une courbe à l'autre de la môme quantité infiniment petite s^ la surface soit divisée en carrés infiniment petits. Or on a (5:^ 376, /**):

pour dv = (}, rliS:=\/E(lu; pouv du = (), d2S = \ÎGdv,

La condition diS = d.2S, pour du = dv, devient donc :

Ainsi, pour obtenir ce qu'on appelle un réseau d'isothermes, il faut que l'élément d'arc prenne la forme :

ds^=i^u,v){du^ + dv^-).

Cette condition, satisfaite pour un système de variables u et r, le sera évidemment pour tout système ku-\-0^^ kv-\-0''^ où k est un coefficient constant.

^". — Appliquons aux surfaces de révolution (§ 378, /°i :

<h^- == f-{v) du'- + dv'- = f{v) \du'-^{j^l^f\ .

Les courbes des faisceaux u Qi v sont orthogonales ; mais les variables sur ces courbes ne sont pas choisies de manière qu'en leur donnant des accroissements égaux z { infiniment petits ) , la surface soit découpée en carrés.

Changeons donc la ^variable v qui sert à repérei* l'un des faisceaux.

Posons: / -,y=z:V, d'où: ds^~z=R\\){du'~ -^d\^).

S°. — Appliquons à^la sphère dont, pour simplifier l'écriture, nous prendrons le rayon pour unité de longueur :

X z= cos V cos u, y =^ cos V sin u, ^ = sin v :

ds- = dv- -|- cos^ V . du^ = cos^

I ' \cost'/ I'

Posons donc : V =j J^= log- 1^(|- + f).

V s'appelle la, fonction des latitudes croissantes ; nous en donnons une table au ,^ 214. Il faut prendre // et V pour nouvelles variables, par suite exprimer cos^u en l'onction de V :

2y = 4 arc tj^ 6»' — z.

Nous étudierons plus loin [^ 4'i9) les isothermes d'un hélicoïde.