Recherche des lignes isothermes

/". — Si l'élément d'arc se présente sous la forme :

ds' = 2Vdudv, (1)

pour ramener à la forme déterminée au ,^ 385, /", il sufiit de poser : 2\j = i,-\-v, '2\ = --i{u-^v). (2)

D'où immédiatement :

d{]''-\-d\' = dudv.

Un tire de (2) :

formules ((ui serviront au chanji^emoiil de variables dans F(u,t;). !^'. — D'une manière j^énérale «»n peut écrire :

E I Edu' + 2Vdudv 4- Gdv^] =

[ EJw + (F + iD)dv\ [Edu + (F — iD)dv\ ; (4)

\y. :^ EG — F^

Si l'on trouve les facteurs intégrants des parenthèses du second membre de (4), on ramène la forme (3) à la forme (1) et par suite à la forme (jui convient au faisceau des isothermes (§ 282).

î?". — Appliquons la méthode à la sphère :

ds^ = dv' -|- cos 'V . du- = (cos v . du -\- idv) (cos v . du — idv).

Le facteur intéj>rant de Tune ou l'autre parenthèse est 1 ; cos u .

T^» V 1 « r , , idv 11, idv '\

D ou : ds- = cos -V du -\ W du .

I ' cosî;J| cos y I

Nous poserons donc :

dv = du 4- , d\ r=r du —

' cos V ' cos V

U =r Z7 4- Hog tg (^ ^ + 1- ) , V = U — i log i^(^1 + 2' j .

Appliquant les formules (2) à ces valeurs de U et de V et chan- (jeant convenablement les notations ^ on trouve les variables déjà obtenues :

"'=^-^4^="-, "'=-T(u-v)=iogtg(f+|).

SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES

Représentation conforme des surfaces.