Conditions d'une représentation conforme
Nous supposons la surface définie par les variables u, v, que nous prenons pour coordonnées cartésiennes rectangulaires d'un plan.
A chaque point de' la surface correspond un point du plan.
Nous demandons la condition pour que la représentation soit conforme^ c'est-à-dire pour qu'aux fîp^ures infiniment petites tracées
f^o fh "5 "J H
Fig. 2'i9.
sur la surface correspondent sur le plan des figures infiniment petites semblables. Aux §§ 23G et suivants, nous avons étudié la même correspondance entre les points de deux plans.
i" . — A partir diin point A de la surface, traçons les arcs infiniment petits AB , AC , . . . dont les longueurs rentrent dans l'expression générale :
r/52 — E(/»^- + %^dudv + Ç,dv\
A partir du point A' situé dans le plan et conjugué de A , traçons les arcs A'B', A'C, . . . respectivement conjugués de AB, AG,. . . Leurs longueurs rentrent dans la formule :
ds'' = du^-\-dv-.
Pour que le rapport ds ', ds' soit constant pour le point A (il peut varier d'un point à Tautre de la surface) , il faut évidemment que :
E = G, F = 0; ds'^=^E{du''-\-dv'-). (1)
Si cette condition est réalisée, on a :
AB ÂC
AB
AC
S'\ Supposons ia condition (1) satisfaite : les angles se con-
servent.
D'abord les courbes u = constante, v = constante, tracées sur la surface sont orthogonales (§ 370,^"), comme le sont par hypothèse les droites // = constante, t; = constante, tracées sur le plan.
Plus généralement, reprenons la formule (jui donne l'angle 0 d'une courbe tracée sur la suiface jivec Tune dos courbes du faisceau 1) =1 constante (Jj 377 et iig. 2il) :
cos 0 =
V/E VE -r ^^^> + ^P" \'^+P'
quand Er=:G, p' = 0. L'angle 0 est précisément celui (jue fait avec l'axe des ii la courbe conjuguée dans le plan.
En résumé, nous aurons une représentation conforme sur un plan, en prenant dans ce plan pour coordonnées cartésiennes rectan- (julaires les varialdes qui déterminent sur la surface un réseau d'isothermes.
