S". LOXODROMIE
Soit (/5 = NM, un élément d'arc sur une sphère de rayon 1. Projetons sur le méridien :
PM =z dv = ds . cos Ta, î' — Vo = scqsZ. (1)
Projetons sur le parallèle :
PN = cos r . du = sin Z . ds ; (2)
„-..=t,Z^'-^ = t.z[lo,l,{f+^)-logtg(f+|)]
Partons d'un point X dont les coordonnées géographiques sont Uq, Vq. Pour aller jus(|uau pôle {v=^r,\2)\ il faut parcourir un arc de courbe fini :
Gela n'empèclie |)as le pôle d'être un point asjmptotique, puisque u — Uq devient iiiliiii ; aulrcnuiit dit, la courbe fait autour du pôle une infinité de tours dont les rayons moyens diminuent assez vite poiH' (pie la lon<;uein- totale de la courbe i*este finie.
Il va de soi que par tliacpu' point N de la sphère passent deux loxodromies, symétri(|ues par rapport au méridien de départ et faisant le même angle Z îivec ce méridien.
/' . — Revenons aux cartes de Mercator.
La loxodromie y a une dioite pour courbe conjuguée, puiscjue la rej)résentation est confornu» et que les méridiens y ont des droites pour courbes conjuguées. Naturellement les arcs de loxodromie subissent une amplification croissante vers les pôles; nous savons (|ue le rapport de similitude est i ; cosr.
La longueur de la route juscpi'au pôle devient maintenant infinie. Pour comprendre comment la chose est possible, il faut supposer les unes à côté des autres une infinité de cartes de Mercator, disposées de manière ([ue le méridien — 180" de Tune coïncide avec le méridien 180" de la suivante. Les tours successifs de la loxodromie autour du pôle sont remplacés par le passage de la droite à travers ces rectangles successifs, de largeur finie, mais de hauteur infinie.
5". — On conçoit maintenant comment est résolu le problème des roules en Navigation.
L'équation (3) s'écrit :
^7 — z/o-=(V — \V)tgZ.
Or u et \ sont précisément les coordonnées de la carte de Mercator.
D'où résulte que pour aller d'un point A à un point B de la carte par l;i loxodromie qui les joint , on tracera la droite AB ; on déterminera au rapporteur son angle avec un quelconque des méridiens (verticales^ : ce sera .précisément l'angle Z. Connaissant la décli-
SUBFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 465
naison magnétique A , on saura l'angle Z H:: A , que l'aiguille doit faire avec la quille du navire. Si l'homme de barre maintient cet angle, le navire décrira la loxodromie.
4^" — La loxodromie qui joint deux points, D et B par exemple (fîg. 251), est plus longue que Tare de grand cercle, mais de peu. Pour fixer les idées, supposons que partant du point D (uq=^Vq=^0)^ nous allions au point B de coordonnées u =t: '. 2, v = r. '. àf. L'arc de grand cercle BD a pour longueur t: '. 2. Calculons l'arc de loxodromie.
La formule (3) et la table du § 214 donnent :
tgZ = 4,78, cosZ = 0,49.
D'où, en vertu de la formule (l) : s = r. '. 1,96.
L'allongement de la route n'est que de 2 0/0. On remarquera qu'il serait nul pour les routes DA ou DE, la loxodromie se confondant alors avec le méridien ou le parallèle.
