Projection stéréographique

/ '. — Au § 387, nous supposons que les coordonnées w, f, dans le plan sont les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Prenons maintenant/>o«r coor(/o«nee5/)o/ai>e5 l'angle u et le rayon vecteur r(w, v).

Cherchons les conditions de la représentation conforme.

Posons tout de suite qu'il s'agit de la sphère. Par raison de symétrie, r est une fonction de v seulement. Déterminons laquelle.

L'arc a pour expressions :

en coordonnées polaires dans le plan (§ 80) :

sur la sphère : ds^- := dv'^ -]- cos^v , du'^ .

ds'^ dr'-4-r^du^ r^ / dr^ , , \ / dv'^ , , ,

ds^ dv^ -\- cos^v . du^- cos^ t» \ r^ •" / \ cos ^^v

Ce rapport est le même pour tous les petits déplacements à partir d'un point de la sphère [v et u donnés, du et dv quelconques) si :

dr ^ dv |^^^,l^ \ (JL\1

r cos z; ' ^ oby4i2

V \ cos V

1 — sin V

d-où(§48,.V' : r = ts(^-4- + ^j =

Le facteur de proportionnalité , variable d'un point à l'autre de la sphère, est :

cos V 1 — sin V

2"- — La projection stéréographique réalise précisément ces conditions.

A partir du point A de la sphère, menons des droites par les

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 30

points B quelconques. Elles rencontrent l'équateur en des points B' que nous prendrons pour conjugues de B.

Il est d'abord évident que la condition relative à l'angle u (longitude sur la sphère, angle en coordonnées polaires sur le plan) est satisfaite.

Etablissons donc la condition relative au ravon vecteur.

Fig. 2:)2.

Dans lt»s triangles semblables

mr AT)

CF "" bC '

r — cos V si II /*

OAir, CBB, CB ==/• — GB = sin V

on a

oos t\

cos V

! — sin V

Projetons sur le plan un élément d'arc de parallèle : le rapport de similitiflde est évidemment égal à :

ÀB

ÂÏÏ

cos î;