SI II V
11 vaut 1 pour r = 0 (jioints voisins de ré((uateur) ; il est infini pour les points voisins du pôle.
Quand on déplace le plan de projection parallèlement à luimême, on obtient des figures semblables (,^ 364); par suite, la représentation est conforme pour tous ces plans, en particulier pour le plaTi tangeTit au point D extrémité du diamètre AO.
S''. — On démontre immédiatement (pie la projection stéréographique de la loxodromie est une spirale logarithmique (^ 201).
Analytiquement, cela résulte de la comparaison des équations
u = tg Z . log tg (^Y + '2) ' ^'^'^ ^ "^- ^^o M d'où : 11 = tg Z . log r.
•Su
SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 467
Géométriquement, cela résulte de ce que : 1° la représentation par projection stéréog-raphique est conforme ; 2"" la loxodromie coupe tous les méridiens sous le même angle ; 3° la spirale logarithmique coupe tous les rayons vecteurs sous le même angle. Nous conseillons au lecteur de tracer sur un ballon de celluloïd une loxodromie complète , à partir d'un point de Féquateur, afin de se rendre compte de sa position par rapport aux pôles (points asjmptotiques). Les spires asymptotes au pôle point de vue A sont projetées à l'infini, tandis que les spires asymptotes au pôle D sont projetées autour de 0.
391. Relations entre la projection stéréographique et l'inversion.
/". — Nous avons étudié aux §^ 236 et suivants la transformation des iigures par inversion ; ccaivenieni dit, par rayons vecteui's réciproques.
Fig. 253.
Nous avons montré en particulier que la transformée d'un cercle G est un cercle G' qui devient une droite quand le pôle d'inversion P est pris sur le cercle G. Etudions l'inversion dans l'espace (fig. 253).
Il est d'abord évident que l'inverse d'une sphère est une sphère. Joignons, en effet, le pôle P au centre 0 de la sphère G. Par la droite PO faisons passer un plan : il coupe la sphère G suivant un cercle. L'inverse de ce cercle est un nouveau cercle dont le centre 0' est sur la droite PO. Ges résultats s'appliquent à tous les plans passant par PO ; le phénomène étant de révolution autour de PO, l'inverse de la sphère G est une nouvelle sphère G' dont le centre est en 0'.
L'inverse de la sphère G devient un plan normal à PO, si le point P est pris sur elle.
L'inverse d'un cercle est un cercle. En effet, on le peut considérer comme l'intersection ,de deux sphères ; leurs inverses sont encore deux sphères qui se coupent nécessairement suivant un cercle.
^^ — Réciproquement, tout plan P peut être considéré (hg. 252) comme l'inverse de la sphère de centre 0 par rapport k un point A
468 coins DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES
(le cette sphère, à la seule condition (jue la droite AO soit normale au ])lan P.
(y est ce qui a lieu précisément dans la projection stéréoyraphique.
Hien ne suppose au surplus (jue le plan P passe par le centre de la sphère. On démontrera aisément la relation : AB . ÀB' = 2.
CoROLLAiKE. — Il résulte de là (jue la projection stéréo^^raphique transfoime un cercle en un cercle. La proposition, évidente pour les parallèles et les méridiens (pour ceux-ci le cercle devient une droite), est générale.
Bkmaiujie. — On démontre aisément que dans Tinversion les ant^les se conseivent , (juelles (jue soient les figures transformées. Gela tient à ce cjue les tan<(entes en deux points conjuj^ués de deux couihes conjuj^uées sont dans le même plan passant par le ])ôle d'inversion, et qu'elles fout le même anj^le (en sens inverse) avec le rayon vecteur (5:^ 2*n). D'où résulte (jue Tanj^le de deux courbes en un point d'intersection est égal à r;in«j^le des courbes conjuguées (î:; 70. I).
Surf;icrs topo()ra|)hi(|iies.
Nous (lii-ons (juelijiies mots du mode de l'eprésentîition topoyraphique des surfaces, d'abord j)aice (ju'il donne une idée nette de la méthode des projections cotées, ensuite parce (ju'on le trouve généralisé dans lîi (juestion si import;mte en l*hvsi(|ue des surfaces équipotentielles et isotJiermes \^ 485).
