Fonction entière

i". — La fonction entière est la somme d'un certain nombre de puissances entières et positives de x, multipliées par des coefficients

FONCTIONS ALGEBRIQUE^ 55

numériques (représentés par des lettres pour plus de commodité). Nous Tordonnons par rapport aux puissances décroissantes :

y=zax'^-\-I)x''-\-... ^ -{-dxP-{-ex''-\-f. (1)

La puissance la plus élevée est m, la plus basse est y , a, /?, c, . . . e, /" sont des constantes. Pour chaque valeur de ^, il existe une et une seule valeur de y. La réciproque n'est pas vraie : à chaque valeur de y peut correspondre un nombre de valeurs réelles de x qui, nous le verrons, est compris entre 0 et m inclusivement.

^*'. — Courbe asymptote.

Pour de grandes valeurs de a?, la courbe (1) se réduit à :

y = ax^\ (2)

avec une approximation qui croît à mesure que x augmente. En effet, les coefficients a, h, ... sont finis. Gomme nous sommes libres de faire croître x au delà de toute quantité donnée à Favance, a?"* deviendra, autant que nous le voudrons, plus grand que x"* et, a fortiori, que x^, x'^. Alors même que nous supposerions a petit devant i>, ..., J, e, le terme ax"^ finira toujours par l'emporter.

La courbe (2) est asymptote de la courbe (1). En s'éloignant sur la courbe (1), on se rapproche indéfiniment de la courbe (2) sans jamais l'atteindre. On peut dire que la confusion s'opère à l'infini.

Si m est pair, la courbe asymptote (2) est une des courbes du faisceau I du § 31 ; si m est impair, c'est une des courbes du faisceau I du § 32.

S""' — Pour les très petites valeurs de x^ la courbe (1) se confond

avec : y z=z ex'^ -(- /*,

d'autant plus exactement que x est plus petit, et alors même que e serait grand devant a, b^ ..., d. C'est le même raisonnement que plus haut, mais en sens inverse.

4"". — On a généralement :

-JI^=.max^-^-[-nbx''-^-{-...-\-qex^-\

La dérivée est finie et continue pour toutes les valeurs finies de x. Pour aucune valeur finie de la variable, la pente m ne devient infinie: la tangente à la courbe n'est jamais verticale.

La dérivée m^* est une constante; la dérivée m-\-i^'^ est nulle. La fonction entière a toutes ses dérivées continues et finies pour toutes les valeurs finies de la variable.

37. Intersection de la courbe (1) par une droite horizontale.

/°. — Soit m pair. Pour des valeurs suffisantes de a?, nous savons que la courbe se réduit à la courbe asymptote i/^air"* (dans la

COinS%E MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

figure 30 , nous supposons a >> 0) ; elle est donc formée de deux branches A' A ..., B'B ..., d'autant plus exactement symétriques par rapport à Ot/ que la valeur absolue de x est plus grande. Pour les autres valeurs de x^ la courbe possède généralement des maximums et des minimums, tels que ceux représentés dans la figure 30.

Ceci posé, imaginons une droite horizontale, d'abord très élevée

-JC

et que nous faisons descendre. Elle coupe d'abord la courbe en deux points A et B (qui appartiennent aussi bien à la courbe asymptote, si l'ordonnée //o de la droite est suffisante).

Dans la position 2, la droite est tangente à la courbe en G. Comme elle peut être considérée comme une sécante limite, nous dirons qu'elle coupe la courbe en quatre points : deux points simples A', B', et un point double C.

Dans la position 3, les quatre points sont distincts.

Dans la position 4, il y a quatre points simples d'intersection et un point double. Et ainsi de suite.

Nous arrivons ainsi à cette proposition : Le nombre des points d'intersection est toujours pair, à la condition de compter les points de tangence pour deux; comme cas particulier, le nombre des points d'intersection peut être nul (position 9 de la droite).

Nous supposons dans ce qui précède qu'il n'existe que des points de tangence ordinaire, c'est-à-dire des points de contact simple. La proposition reste vraie, s'il existe des points de contact multiple.

La courbe 31 se rapporte au cas de a<[0; pour x grand, positif ou négatif, y est grand et négatif.

En A le contact est impair; cela résulte de ce que la courbe est

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tangente en A à la droite 2 et se trouve de part et d'autre de cette droite avant et après le point de contact. Gomme la courbe qui est au-dessus de Ox pour x nésratif et très srrand, doit revenir au-dessous

Fig. 31.

de Ox pour x positif et très grand, il faut qu'elle repasse sur la droite 2 au moins une fois, et généralement 3, 5, ... fois, c'est-

à-dire un nombre impair de fois. Le nombre total des points d'intersection est donc pair.

La conclusion est encore la même si le point A est de contact multiple et pair, puisque l'aspect du contact reste le même que pour la tangente; seule est modifiée l'intimité de ce contact. Nous pouvons donc énoncer la proposition générale : Si la puissance la plus élevée est paire^ le nombre des points d'intersection par une horizontale

est pair y à la condition de compter les points de contact comme pairs quand la courbe reste du même côté de la tangente , comme impairs quand elle passe d'un côté à l'autre.

^"' — • Supposons m impair. La courbe qui est au-dessus (ou audessous) de Ox pour x négatif et grand, finit par être au-dessous (ou au-dessus) de Ox pour x positif et grand. La figure 32 suppose m impair et a <; 0.

Sans qu'il soit nécessaire de recommencer les raisonnements, on peut conclure : Si la puissance la plus élevée est impaire, le nombre des points d'intersection par une horizontale est impair, à la condition de compter les points de contact comme pairs quand la courbe reste du même côté de la tangente, comme impairs quand elle passe d'un côté à l'autre. Il résulte immédiatement de là qu'il existe toujours au moins un point d'intersection, quelle que soit la position de l'horizontale.