Surfaces enveloppes

i°. — Soit un faisceau de surfaces :

Pour chaque valeur de a, nous avons une surface du faisceau dont la forme et la position dépendent de la valeur du paramètre a. Faisons varier a de — ^c à -]- oc ; nous obtenons une infinité de surfaces qui peuvent occuper tout l'espace ou laisser intacte une portion de l'espace. Dans ce dernier cas, le volume qu'elles atteignent est

SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 473

limité par une surface qui est leur enveloppe ; chaque surface du faisceau est une enveloppée (comparer à la définition des courbes enveloppes, § 129, et généraliser le 5° de ce paragraphe).

S°. — Si l'on donne à a successivement les valeurs a et a.-]-(/a, on obtient deux surfaces du faisceau (1) qui diffèrent infiniment peu de forme et de position. Nous admettons qu'elles se coupent suivant une ligne dont la position limite est parfaitement déterminée quand da tend vers zéro (c'est l'hypothèse même qu'il existe une enveloppe). Nous nommerons cette ligne caractéristique. Ses équations sont :

f{x, ?/, z, a) = 0, /(a?, y, z, a + doc) ==0,

ou, ce qui revient au même :

/K//,3,a) = 0, ME^lhA^Q, (2)

S''. — L'enveloppe peut être considérée comme le lieu des caractéristiques (2). On obtient donc son équation en éliminant a entre les équations (2) ; la surface "ainsi déterminée est le lieu des intersections successives des enveloppées , puisqu'elle contient l'une quelconque des caractéristiques (2) et que le paramètre a n'y entre plus.