Surfaces canaux, tore elliptique, serpentin

y°. — Les sphères de rayon invariable R dont les centres sont aux points de coordonnées a, ^, du plan ocOy, ont pour équation :

Cherchons une propriété commune à toutes ces sphères. Pour cela éliminons les paramètres oc et ^ entre (l), et les deux équations tirées de (i) en dérivant successivement par rapport k x et k y :

Substituant dans (1), il reste l'équation aux dérivées partielles :

-J(i+p^ + rf-) = l\K (3j

Elle exprime que la normale en un point quelconque de hauteur invariable z, fait avec 0^ un angle dont |le cosinus (§ 375, i°) est constant (propriété géométriquement évidente) et égal à :

5°. — Cylindres circulaires. — Inversement, l'équation aux dérivées partielles (3) admet (1) comme intégrale. Cela signifie que toutes les sphères (1) jouissent de la propriété exprimée par (3) ; mais cela ne signifie pas qu'elles sont les seules surfaces qui en jouissent. Considérons, en effet, les surfaces représentées par l'équation : Q, j, /,j. ^^^^

Elle exprime (§ 29, 3'^) que le carré de la distaûce d'un point de la stirlace à une droite du jalan rO,^, ^^* ^^^ constante : elle représente donc tous les cylindres circulaires dont les axes sont sur le plan ./-O^ et (lt)Dt le ravan est R.

Dérixons successivement (l ) [)ar rapport à x et à// :

Nous retrouvons bien (3) à partir des écjualions (I') et ['2'). .f'. — SiHFACES CANAi X. — Reprenons la sphère (1) et imposons au centre une Irajectoire autre (ju'une droite. P.'ir cxcniplc. i.iisons- lui décrire l'ellipse :

a=:=;j. coso, ^iz=rvsino. (4)

(./• — ;j, cos o)- -|- (' r/ — V sin q)- -j- g- = H-. ({'")

L'intei'section de deux sphères infiniment voisines est l'intersection de la surface (!'") et de la surface obtenue par dérivation :

(x — ;x cos o ) 'J. sin o — ' ,v * sin oj v ct>s o == 0,

.ry. sin o -]- //v cos o - -: ( y,- /-) sin o cos o. (5)

La surface (5) est un plan parallèle à Og : la caractéristique, intersection d'une sphère par un plan, est dcuic un grand cercle. On vérifiera innnédiatemenl (pie le plan (o) est normal à l'ellipse (4).

Illn éliminant o entre les écjuations (l ") et fo), nous obtiendrions la surface enveloppe de toutes les sphères de rayon invariable R dont le centre est assujetti à décrire l'ellipse (4) ; cfst un cas particulier (te ce qu'on appelle un tube ou une surfnce canal.

i". — Solution sincllu^œ. L'écpiatiiui aux dérivées partielles (3)

est s;ilisfaile si l'on pose : :• —j^R, p=z{)^ r/ -:= U. (7)

On tlélinil ainsi deux plans 1* et P tangents à toutes les sphères (1), à tous les cylindres (l), généralement aux surfaces enveloppes des sphères, et (jui ne sont un cas particulier ni de ces sphères, ni de ces cylindres, ni de ces enveloppes. Ils constituent une solution singulière de l'éijuation aux déiivées partielles.

,>'\ — Si:ri'ENTin. — Gomme généralisjttion du problème ci -dessus résolu, (m peut supposer que la courbe décrite par le centre de la sphère est gauche. Si, par exemple, c'est une hélice (J^409), la surface enveloppe (surface canal) est un serpentin.