Tore circulaire ; ovales et lemniscates
Insistons sur le tore (s; .*i8l, /") en raison de rimportance capitale des courbes qu'il donne par intersection avec un plan. Nous conseillons au lecteur de se procurer un gros anneau; une couronne d'immortelles (de section aussi ronde que possible) recouverte de
SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES
papier fera fort bien l'affaire, suivra aisément la discussion.
/'*. — Pour pousser les calculs à bout, paragraphe précédent par le cercle de rayon
OC = iJ. ; a = a cos 0, 3
La condition (5) devient :
Il tracera à mesure les courbes et emp laçons l'ellipse du
Il sm Q .
On
xsin pour la surface canal
ij cos 0 = 0.
Telle est l'équation du tore (§ 38 1 , / écrivant que la surface est le lieu des caractéristiques ; ce qui revient à dire qu'elle est engendrée par un cercle tournant autour d'une droite de son plan.
Le tore, comme n'importe quelle autre surface canal, satisfait à l'équation (3).
En effet , celle - ci exprime une propriété générale du plan tangent à la sphère, qui doit se retrouver sur toutes les enveloppes.
Les intersections de
(6) On retrouve l'équation (6) en
Fig. 2r
ax-
ée 0^ sont données par la condition :
On définit ainsi deuK points A et B qui sont réels si R^(j. , ce qui est évident. Quand ils sont réels, ils constituent des points coniques. Les plans tangents à la surface aux points A et B enveloppent des cônes qui sont de révolution autour de Oz.
Nous reviendrons là- dessus plus loin. Quand les points A et B sont réels, on dit que le tore est fermé,' il est ouvert quand ils sont imaginaires.
5". — Sections par un plan parallèle a l'axl: 0^.
Coupons par un plan parallèle à l'axe Oz. Comme la surface est de révolution, nous pouvons le placer parallèlement à xOz sans
diminuer la généralité du problème: son équation est yz=%. La courbe d'intersection a pour équations équivalentes :
(\/.r* + s^ — ',jY + 2' = R*,
On obtient la seconde k partir de la première en chassant le radical.
Tore ouvert
xe
--rfi-^
Àxe
fores fermés
Axe
l'-ig. 2:*.
La ligure 2r)8 montre une coupe du tore (ouvert ou fermé) par un plan passant par l'axe de révolution et normal au plan d'intersection ; ell(> montre aussi 1;« trace de ce dernier plan. La ligure 259 repré-
Fig. 259.
sente les formes de la courbe d'intersection pour le tore ouvert et les positions I, II, 111 du plan d'intersection.
Quand Sz=:jjl-|-R, la courbe se réduit à un point.
Quand B est compris entre ix-j-R et ;jl, on obtient un ovale.
Quand S est compris entre u, et |j. — R, la courbe possède quatre points d'inflexion.
Pour B = ;j(,^ — R, l'équation (I) devient :
SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES
On a une lemniscate hyperbolique qui possède un point double.
Enfin pour S <] [j. — R , la courbe d'intersection se compose de deux ovales qui deviennent deux cercles pour 5 = 0.
La partie droite de la figure 258 permet au lecteur de terminer la discussion pour le tore fermé. Il existe alors soit un ovale unique, soit deux ovales placés Fun dans l'autre. Ils peuvent avoir tous deux la forme I (région F); Fovale extérieur peut avoir la forme II, et l'ovale intérieur la forme I (région V).
3"". — Ovales de Gassint, lemniscate de Bernotjlli.
On obtient les ovales de Cassini quand la section est à une distance de l'axe de révolution égale au rayon R de la sphère génératrice : R==o. L'équation prend les formes équivalentes : (^2 -[- ^2 __j ^^,y. ^ 4,;^ (^2 | Yi^y
-fl^
= um'
La seconde forme exprime que la courbe est le lieu des points dont le produit des distances à deux points fixes .r = +pi., est constant et égal à 2p.R.
Suivant les valeurs relatives de \j. et de R, on obtient les diverses formes représentées dans la figure 259.
Si (x = 2R, on obtient la lemniscate de Bernoulli (§ 239) :
{X~ -{- z'Yz=m'- {X^ — Z^).
