Tangente, plan normaL

/" — La distance de deux points voisins 0 et A de la courbe, points dont les coordonnées sont : .r, //, 2; x-\-dx, y-\-dy^ z-\-dz^ a pour limite la longueur de l'arc ds de courbe. Nous avons donc :

ds'- = dx' + dy^'-^dzK (1

nédiatement l'expression des c

^•^ . dy dz

On déduit de là immédiatement l'expression des cosinus directeurs de la tangente :

ds ' ^ ds ' ' ds ^ ^

Par suite, la tangente au point x, y, z, 3. pour équations :

où $, r^, (^, sont les coordonnées courantes. Les coordonnées x, y, z, sont supposées connues en fonction de l'arc s (323, 4") : D'où pour le plan normal (§319) :

484 en uns DE MATHÉMATIQUES Gf:\l':iiALES

S°. — Généralement la courbe est exprimée en fonction d'un paramètre variable t (jui n'est pas l'arc s :

Nous poserons pour abréger :

D'où : ds^ = dx^- + dif + dz" = (9'- + -/' + -V') dt\

Pour (|ue la variable t mesure l'arc de courbe, il faut cpion ait :

Kn utilisant les équations (5), les équations de la tangente prennent la forme ;

9» '/\ 'V» sont les valeurs de ces fonctions pour le point x^ ?/, :;, de contact. Le plan normal devient :

S'\ — Comme toute autre courbe, la droite peut être exprimée en fonction d'un paramètre. Gboisissons comme paramètre la distance s à l'un de ses points .r, //, 3; ses équations s'écrivent (§323, 4^) :

a, [i, y, sont ses cosinus directeurs. On a en effet :

Quand les cosinus directeurs a, ji, 7, de la tanp^ente à une courbe sont connus, les équations ((>) peuvent servir à la représenter. Dans le cas «^^énéral, les écpiations de la tanj^ente ont la forme :

T est le paramètre variable définissant les points de la tangente.

404. Plan osculateur, normale principale. /". — D'après les notations adoptées, le plan osculateur a pour équation :

puis([u'il passe par le point O et (|u"il est perpendiculaire à la binormale.

Par définition, cette binormale est perpendiculaire à la tangente au point 0 et à la tangente au point voisin.

On a donc les deux relations :

X[x' + ^" dt) + v^[y' +11" dt)J^.[-J + z" dl) = i).

La première exprime ([ue bi binormale est perpendiculaire à la droite dont les cosinUs directeurs sont proportionnels à x\ y\ z.

c'esl-à-dire perpendiculaire à la tangente au point 0. La seconde exprime qu'elle est perpendiculaire à la droite dont les cosinus directeurs sont proportionnels à :

dx' X -\- —j— dtz=x' -\- x" dt, y' -{- y" dt , z' -^ z" dt ,

c'est-à-dire perpendiculaire à la tangente au point A voisin. On peut mettre les relations précédentes sous les formes :

Àx" + ,xy" + v." + 0. (^)

D'où: . .. ^ . .. = . ..^

y Z — zy zx — x z' xy — y x