Rayon de courbure. Centre de courbure

/". — Il s'agit de calculer le rayon du cercle osculateur. Nous utiliserons la méthode *du |^ 92. Soit e l'angle que font entre elles deux tangentes dont les points de contact sont distants de ds.

Le rayon de courbure p est défini par la relation :

486 COUnS DE MATHItMATIQVES GÉNËBALFS

Tout revient à calculer s. Applif|uons la formule (|ui donne le cosinus de deux directions dont on connaît les cosinus directeurs. Ces cosinus sont .t', ?/', z\ pour un point de la courbe,

x' -f- ^"(^s -{- Ids^, y' -\- }/"ds -{- r^cls^, z -|- z"(ls -{- Ids^-,

pour un point voisin. Nous introduisons les termes du second ordre; ils disparaîtront dans le calcul. Appliquons la formule du § 316, 4". L'expression de sin^ £ contient trois termes symétriques dont le premier est :

[;y' (;:' + zds -f LW) — z [y' -f y"ds -\- r,ds') \\

Il se réduit à : (;/':;" — zy")'- ds^ = \^ds- : :^ ;

p est la quantité définie au paragraphe précédent : nous allons montrer r/ue c'est précisément le raj/on de courbure. En effet, il vient :

ds^ ds-

sm- z= i'=z {/}-{- ;;.--[-^' 1 —77-= - ,. •

Ainsi la courbure a pour expression :

On pourrait partir de la formule :

cos t = ]—t':2 = .r' (x'-\-x"ds+;ds^-) 4- . .., en s'appuyant sur les relations (J^ 2T}1)> :

x'x" + y'tf + z'z" = i),

et par dérivation : (.r "« -f // ^ -f z"^) + {x'x" -\-y'y"' -f z'z") = 0.

t^". — DéttM'minons les coordonnées du centre de courbure^ centre du cercle osculateur qui est situé dans le plan osculateur et a p pour rayon. Elles sont déterminées sans ambiguïté par les formules :

a=zx-\-lù=.x^ p-x" =zx-\ jy^