Indicatrice ou hodographe sphérique

/". — Un mobile se meut avec une vitesse constante que nous prendrons pour unité, sur une courbe gauche A,B,G,D,... A partir d'un point fjuelconque () , menons des vecteurs OA', OB', OC',... égaux et parallèles yux vecteurs représentatifs de la vitesse aux points correspondants A,B,C,... de la courbe gauche. Leurs extrémités forment une courbe à la surface d'une sphère (puisque les vecteurs ont une longueur constante) : on l'appelle hodographe ou indicatrice sphérique.

9'\ — Pour nous rendre compte de ses propriétés, supposons la courbe gauche remplacée par une suite de petites courbes finies planes AB, BG,... Les tangentes à leurs éléments sont respectivement dans un plan. Si par le point 0, on mène des vecteurs égaux parallèles à ces tangentes, leurs extrémités décrivent sur la sphère de petits arcs de grand cercle, A'B', B'C',.-- L'angle a que fait l'arc A'B' avec l'arc B'G', est l'angle des plans des courbes planes AB, BG. Il est représenté sur la sphère en vraie grandeur, puis({ue la droite OB', rayon de la sphère, est parallèle à la tangente commune aux deux courbes AB, BC^ au point B, par suite à l'intersection de leurs plans.

L'angle que fait l'arc A'B' avec l'arc D'E' est égal à la somme 7. -[-[î-|-Y des angles extérieurs du polygone sphérique.

Supposons que le polygone se ferme. Gela signifie qu'aux extrémités de l'arc de courbe considéré (ici formé de courbes planes) les tangentes sont parallèles. Nous savons (jj 74, -/") que la somme E des angles extérieurs d'un polygone sphérique fermé est égal à 2- moins l'aire S du polygone : £ = 2- — S.

Cette quantité mesure donc l'angle des plans des courbes extrêmes.

S''. — Revenons au cas général de la courbe gauche. Ce qui précède est applicable, à la condition de considérer les courbes planes comme de longueurs infiniment petites ; leurs plans deviennent les plans osculateurs à la courbe. Par ses changements de direction , riiodogiaphe sphéri(pie représente donc la rotation du plan osculateur, ce (jue nous avons appelé la torsion de la courbe.

En pjirticulier, supposons ([ue la courbe sphéricpie se ferme, que les tangentes aux points A et P, extrémités de l'arc considéré de la courbe gauche, soient parallèles. La rotation totale du plan osculateur entre A et P ; autrement dit, la torsion totale de la courbe entre ces points est égale à 2- — S, où S «'st l'aire limitée par la courbe sphéricpie.

/". — l*ai' exiMuple, imaginons uni' c(»url>i' dont les tangentes fassent ini angle invaiiable 'l avec une droite. L'indicatiice est un cercle (|ui, fiMiné, limite ime aire (Jl 38i) égale à 2r(l — cos'i/). La somme des angles extérieurs de ce cercle (somme des variations de (lii-ectlon de la tangi'nte") est : E = 2- — 2::(1 — cos -y) = 2:: cos »}.

Si la longueur de l'aie de courbe gauche compris entre les points dont les tangentes redeviennent parallèles est 5, la torsion moyenne est : K ; .s- 2-cos'!/ ; .v.

Nous allons voii" ([ue la eoiulxî dont il s agit est une hélice.

IIélic<». Hôlicoïdo développable.