Définition de Thélice

/". — On appelle hélice la tourbe gauche engendrée par l'enroulement, sur un cylindre à base circuhiire, d'un triangle rectangle ABD dont un des côtés de l'angle droit DH s'enroule sur la circonférence de base. L'hypoténuse AD du triangle devient l'hélice.

Nous appellerons pas la (juantité H dont l'hélice s'élève pour un tour; on a évidemment, en appelant r le rayon de la base :

ÂB = BDtgO, H = 2-rtgô.

S représentera l'arc d'hélice pour un tour ; on a :

BD = AD cos e, S = 2-r : cos e ; izV^ -)- H- -= S^

Une «génératrice du cylindre coupe l'hélice en une infinité de points dont Téquidistance est égale au pas.

Les équations de l'hélice en fonction de l'arc sont :

X = r cos

rsin

= -cr s.

i?". — La direction de la tangente est définie par les cosinus :

— q- , ^z=i/ = cos 0 cos -o

x' = — cos G sin

vi=r ;;' = sin 6.

Donc la tangente fait avec 0^ un angle qui est le complément de Fangle 0 ; ce qui est évident sur la figure 26o. S\ — On a :

2t. cos 0 2x5 ô cos — ô-

2t. cos 0

sm

D'où :

/■ .. , ■■-— , — ,,- cos^ 6

Le rayon de courbure est constant.

La normale principale AN ^5^ la normale au ci/lindre au point A. Elle rencontre normalement l'axe 0:;.

Le rayon de courbure p est toujours supérieur à r. Gomme il est constant, le lieu des centres de courbure C de l'hélice est une autre hélice de même pas, enroulée sur un cylindre de rayon ^'=p — ^•

Son inclinaison 0' est donnée par la formule :

H = 27:(p — r)tgO'.

En particulier, si les spires sont très aplaties, 0 est voisin deO,p est voisin de r, o — r voisin de 0, enfin 0' est voisin de t: : 2. Le lieu des centres de courbure devient à la limite Taxe 0 4°. — On trouve aisément :

. y sin 0 X sin 0

^vi

Pi

. f sm 0 cos 0 2715

A = cos o

sin 0 cos 0

Fig

lui-

même.

= cos 6 ;

sm

ou

sm 6 cos 0

4 90 CO uns DE MA THÉM. l TIQ UES G ÉNÉRA LES

Le rayon de torsion est donc constant. 11 s'annule pour 0 *= 0 (l'hélice s'îiplatit sur son cercle de base), et pour 0 = :: ; 2 (l'hélice se réduit à une génératrice du cylindre).

,ji". — Nous obtenons le même résultat à l'aide de l'indicatrice sphérique (j:^ 408) qui est un cercle. La torsion totale pour un tour d'hélice est 2t. cos 'il = 2t. s'in h . La longueur de l'arc correspondant est

5 = 27:r;cos6. La torsion nioi/enne (qui est précisément égale à l'inverse de p,) est donc :

1 ^ . / 2Tr \ sin 0 cos

— = 2:: sin 0 'A r = "

0, \ cosO / r

6*". — Courbes loxodromiqlks.

Nous avons étudié plus haut ()^ 3S9), sous le nom de loxodroniie , une courbe qui coupe tous les méridiens de la sphère suivant le même angle. La définition se généralise : on appelle courbes loxodromif/iies des surfaces de révolution les courbes qui coupent les méridiens sous un angle constant. Les loxodromitjues du cylindre et du cône sont des hélices. Nous étudions ici les loxodromiques du cylindre; nous dirons quelques mots des loxodromiques du cône au i^ 42G.

t 410. Projections de l'hélice.

P\ — Projection orïhogonalk d'i nk hélice sur un plan parallèle a

SUN AXi;.

Projetons sur le plan 3().a , on .( :

2t,s ils 2t. z

.rz=/*c()s ^ . : -^ ç,- ; .r:=rcos i,- .

La projection est une sinusoïde. Faisons Iouiium- l'hélice autour (le ()3. Comme l'hélice est supeiposable à elle-même . la projection reste une sinusoïde, mais (jui se déplace en bloc paiallèlement à 0;. La rotation dans le sens de O.r à OH, priuluit évidenmient un mouvement vers le bas. On utilise cette proposition en Physicjue dans de nombreux appareils de démonstration. On la vérih'era en projetant sur un mur l'ombre d'une hélice construite avec du iil de fer.

î?". — Projection oblique d'une hélice sur un plan perpendiculaire A SON axe.

Plaçons l'axe verticalement. La projection est une cycloïde raccourcie, si les projetantes sont plus horizontales que les tangentes à Thélice ; une cycloïde proprement dite, si l'inclinaison est la même : une cycloïde allongée, si les projetantes sont plus verticales.

Supposons les projetantes parallèles au plan a^O; et faisant avec le plan xOy l'angle 6. Dans la projection, y reste inaltéré. On verra immédiatement ([ue \x de la projection d'un point est égal ;i Yx du point projeté augmenté de zcoig'b.

L'équation de la projection est donc (comp. au § 100) :

x= r cos ^ -j- ^ s cotg 'b , ,V = '^ sin -^— .

Nous laissons au lecteur le soin de parfaire la démonstration. Il vérifiera le théorème en projetant sur un mur l'ombre d'une hélice construite en fil de fer et plus ou moins inclinée.

3". — La proposition précédente rentre (en un sens) dans une proposition plus générale : une courbe plane qui a un rebroussement , peut être considérée comme la projection d'une courbe gauche parallèlement à une de ses tangentes. Si le plan osculateur a un contact ordinaire (du second ordre) avec la courbe, il la traverse : les deux bras du rebroussement qui est du premier ordre, sont de part et d'autre de la tangente ; c'est le cas pour l'hélice. Si le plan osculateur ne traverse pas la courbe (contact du troisième ordre), les deux bras du rebroussement sont du même côté de la tangente.

Le lecteur vérifiera la proposition avec un fil de fer tordu, en examinant son ombre portée sur un plan.