Hélice osculatrice

L'hélice est donc la courbe gauche la plus simple, puisque ses rayons de courbure sont constants ; deux arcs quelconques de la courbe sont exactement superposables.

Sans entrer dans la théorie complète de V osculation des courbes gauches, on conçoit possible de se représenter l'allure d'une courbe quelconque au voisinage d'un de ses points, au moyen d'une hélice convenablement choisie.

On donnera à la courbe et à l'hélice même tangente, même plan osculateur et même rayon de courbure p. On impose ainsi une relation entre le rayon r du cylindre sur lequel l'hélice est tracée, et l'inclinaison 0 : r=ûcos'-6. (1)

On se servira de l'arbitraire qui reste pour identifier les torsions des deux courbes. Soit pi le rayon de torsion de la courbe gauche donnée. On a :

r=p, sinOcosO, c^p, tg6, (2)

La seconde équation (2) ((|ui peut être toujours satisfaite, puisque la tangente varie de 0 à oc) détermine 0 ; l'équation (i) donne r.

Le contact entre la courbe et riiélice est du second ordre. Mais il existe un commencement de contact du troisième ordre, puisque la torsion dépend des dérivées troisièmes des coordonnées par rapport à la variable, et qu'elle est la même pour les deux courbes.