GD

r Ig 0

tga '

a 2:: tg a *

Gon fermement à ce que nous venons de suj)poser, la tangente à riiélice fait bien un jmgle constant avec le j)laii ./()// : mais s(»n point de tangence s'élève de II (|uand 01. croît de 2r.

^Ki^+4

sin a ' " 2:

[\A\v est h» courbe (juil laul cfMîsliuire (fig. 267). On a :

rcos X

tg 0 cos a.

Fig. 267.

Donc la courbe cherchée MN est à l'intini pour a = 0 ; elle aboutit pour 0L = T. \2, au point N de coordonnées y =r, ^ = H ; 4.

Sa 23ente, égale à tgô pour a = 0, diminue constamment et s'annule au point N. Elle possède en N une tangente horizontale.

^". — Tant que a<C':: ! 2, le plan yOz est rencontré par la partie de la tangente qui est au-dessus du point de contact, pour a > t: I 2, il est rencontré par la partie qui est au-dessous du point de contact. Quand a varie de t: ; 2 à ?:, on obtient la courbe NP symétrique de MN. La courbe entière MNP possède donc en N un point de rebroussement : sa tangente de rebroussement est horizontale .

Il est évident que la même courbe est tracée dans tous les jjlans passant par 0^. On obtiendra donc Thélicoïde développable par une rotation du plan de la courbe MNP autour de Oz et par un glissement simultané le long de Os, de manière que le point N décrive l'hélice. Autrement dit, l'hélicoïde développable est une vis de pas H dont la courbe MNP est le profil.

Tout point V de la courbe engendre une hélice de pas H , qui se trouve tout entière sur l'iiélicoïde .

S''. — On peut considérer Thélicoïde développable (c'est le cas de toutes les surfaces engendrées par les tangentes à une courbe gauche, surfaces dites réglées développables) comme formée de deux nappes tangentes entre elles suivant l'hélice qui est Varête de rebroussement. L'une des nappes Fig. 268.

contient toutes les portions des

tangentes qui se trouvent avant les points de contact; l'autre, les portions des tangentes qui sont après les points de contact. La figure 268 montre la disposition des deux nappes au moyen de la projection sui' xOy. L'intersection de la surface par un plan normal au tableau et passant par O.z/, est précisément la courbe MNP de la figure 267.

413. Hélice générale. Surfaces d'égale pente, cônes d'éboulis, remblais.

^''. — Reprenons la figure 265 , mais posons que le cylindre sur lequel nous opérons n'est plus circulaire; il coupe le plan xOy suivant une courbe quelconque G. Nous pouvons encore enrouler dessus un triangle rectangle ABD ; nous traçons ainsi sur le cylindre

une courbe qui est une hélice générale. Elle conserve de Vhéllce la propiiété que sa tangente fait avec le plan xOy un anoxie invariable.

il?". — La surface développable enj^endrée par les tangentes à cette bélice est d'égale pente. Sa ligne de plus grande pente a une inclinaison invariable. Ses j)lans tangents, déterminés par deux génénit lices voisines, rencontient sous un angle constant le i)lan xOy qui est supposé horizontal. Si par un point quelconque on mène des droites parallèles aux tangentes, on obtient un cône (appelé directeur) de révolution autour d'une verticale; le résultat est évidemment le même pour ïhélicoïde développable .

,i". — Les surfaces d'égale pente se présentent chaque fois qu'une loute doit avoir ses talus réglés à une pente uniforme. Les éboulis prenant spontanément une pente très sensiblement invariable, ce (ju'on appelle généralement cône d'éboulis est en réalité une surface d'égale pente. Vn cône de révolution autour d'un axe vertical, et dont on astreint le sommet à décrire une courbe gauche, a pour enveloppe une surface d'égale pente. Le plan tangent à la surface enveloj)pe est le même tout le long d une généiatrice : nous verrons plus loin (il; 416) (pie cette condition sutlit à caractériser une surface dévelopj)able.

/". — Voici une propriété rt-inarcpiable dis surlaces d égale pente : l'aire d'une portion (inie, limitée pai* une ct)Uil)e (juelconque, est à sa projection liori/ontale dans un rapport constant, égal à l'inverse du cosinus de l'inclinaison. La (juadrature d'une surface d'égale pente ne dépend donc que de l'évaluation de l'aire limitée j)ar une courbe plane.

414. Représentation topographique des surfaces d'égale pente.

/". — Les lignes de plus grande pente des surfaces dégale pente sont des droites. Leurs projections sur le plan horizontal sont naturellement des droites ; elles sont tangentes à la projection horizontale de l'hélice générale, c'est-k-dire à la courbe C, intersection du cylindre avec ^0// (voir le /" du paragraphe précédent). Les projections des lignes de niveau sont donc les développantes de la courbe G.

î^". — En pjirticulier, les lignes de niveau de Ïhélicoïde développable sont des développantes de cercle, ce qu'il est facile de prouver directement.

Surfaces développables.

415. Manière d'effectuer le développement. /". — Les surfaces engendrées par les tangentes à une courbe gauche sont dites surfaces développables , parce qu'on peut les développer^ c'est-à-dire en iimener les éléments dans un plan sans déc/ii-

rure ni duplicature. Nous développerons successivement chacune des nappes de la surface (§ 412, S'').

Soit abcdc l'arête de rebroussement ^ c'est-à-dire la courl)e gauche dont les tangentes constituent la surface. Décomposons -la en éléments ah, bc, ... dont les prolongements du même côté sont les

droites Gj, G^, Nous déterminons ainsi les éléments Ei, E.,, . . . .

d'un polyèdre qui remplacera la surface (fig. 269).

Pour effectuer le développement , appliquons l'élément Ej sur le plan. Faisons tourner toute la surface, sauf Ej, autour de G2 ; amenons l'élément E2 dans le plan. Faisons tourner toute hi surface, sauf El et E2, autour de G3 ; amenons l'élément E^ dans le plan. Et ainsi de suite. L'opération a lieu sans déchirure ni duplicature ^ parce que les tangentes infiniment voisines se coupent , autrement dit, parce qu'elles enveloppent une courbe. A cette condition seulement la surface peut être remplacée par un polyèdre développable.

^2'\ — Une courbe tracée sur une surface développable et sa conjuguée sur le plan coupent chaque génératrice sous le même angle. Car la rotation autour de cette génératrice, rotation nécessaire au développement, ne modifie pas cet angle.

D'où résulte ({ue l'angle compris entre les tangentes de deux lignes qui se coupent, conserve également sa grandeur, parce c[u'il est la somme ou la différence d'angles ([ui ne sont pas modifiés.

^°. — Le rapport des rayons de courbure en deux points correspondants d'une ligne tracée sur une surface développable et de sa transformée plane est égal au cosinus de l'angle g) que fait le plan osculateur de la ligne avec le plan tangent à la surface.

Je ne démontre pas cette proposition : en voici deux cas particuliers utiles.

4". — Quand une courbe tracée sur une surface développable est tangente à une génératrice^ son rayon de courbure au point de contact n'est pas altéré par le développement. En effet, des deux tangentes infiniment voisines qui servent à définir le rayon de courbure, l'une coïncide avec la génératrice , l'autre tourne autour de cette génératrice ; leur angle n'est pas altéré par le développement. C'est une application de la proposition précédente : l'angle co est infiniment petit, le plan osculateur est tangent à la surface.

D'où le corollaire : dans le développement^ l'arête de rebroussement conserve sa courbure en tous ses points. En effet , elle est en tous ses points tangente aux génératrices.

5''. — Par exemple, nous savons que le rayon de courbure d'une hélice est constant et égal à :

p = r ; cos- 6.

Nous concluons que, dans le développement d'un hélicoïde développable, l'hélice (arête de rebroussement) se transforme en une circon-

férence de rayon p. Gomme la longueur d'une spire est 2t. r : cosO, l'angle ^ (en radians) occupé sur le cercle de rayon p par la transformée d'une spire est :

'l = 2r.7' : p cos fi = 2z cos 0.

f^"' — f^n plan, normal en M à la surface développahle , coupe cette surface suivant une courbe dont la conjuguée plane possède un point d'inflexion au conjugué du point M (fig. 269).

Pour s'en assurer, que le lecteur suppose l'élément E, au-dessous

du plan du tableau pris pour i)lan de l'élément E.2 auquel le plan P est normal.

Si E, faisait avec Ej un angle droit , l'intersection de P et de E, serait normale à Gj ; son rabattement sur le tableau serait CD'. Si l'angle E.E., était nul , le rabattement de l'intersection serait la trace même du plan P. Par suite, (piel (jue soit l'angle de E, avec E2, le rabattement nécessairemen t compris en tre les limites qui viennent obtus de la trace de P avec G2.

Même raisonnement pour G3. D'où résulte ([ue la courbe ABGD passe de })art et d'autre de sa tangente au point M qui est un point (Vin flexion.

C'est un cas particulier de la proposition .t' ; l'angle «o est droit. Le raisonnement tombe en défaut quand 1* est à la fois normal il la surface en M et à la génératrice cpii passe par M. La conjuguée de l'intersection dans le plan présente avec sa tangente un contact du troisième ordre.

Fig. 2(«).

d'être déterminées sera dans l'angle

416. Équation aux dérivées partielles des surfaces développables.

/". — D'après la manière dont nous réalisons les surfaces développables, le plan tangent est nécessairement le même tout le long

d'une génératrice

en effet, deux génératrices infiniment voisines se ;

coupant , elles déterminent un i)lan qui devient tangent à la surface lorsqu'à la limite elles se confondent.

Soit : z — Z= p[x — \) -\- q[xj — Y) ,

l'équation du plan tangent ; X, Y, Z, sont les coordonnées courantes;

X, y, z, sont les coordonnées du point de tangence. Il résulte de ce que nous venons de rappeler que les coefficients : /), q, z-px — qy,

sont constants tout le long d'une génératrice.

Quittons cette génératrice sans quitter la surface. Que la surface soit développable ou non, si p et q sont constants, z — px — qy est constant; car la variation de cette quantité est alors :

dz—pdx — qdy = dz — (^-^dx + -^dyj===dz~dz=^().

Revenons aux surfaces développables. Montrons qu'alors p et q ne peuvent généralement pas varier l'un sans l'autre. Supposons, en effet, q variable et p constant. La trace du plan tangent sur xOz est :

Y = 0, Z — pX = z — px — qy ;

elle se déplace parallèlement à elle-même ; la surface est donc nécessairement un cylindre, puisque c'est l'enveloppe de plans parallèles à une droite fixe (§ 418). Même conclusion si p est variable et q constant. Donc, pour les surfaces développables et en dehors du cylindre, p et q ne peuvent pas varier l'un sans l'autre ; conséquemment z — px — qy , ne peut varier que si p et q varient. En définitive, on a :

q = F{p), z—px — qy=F,{p)=F,{q).

Telles sont les relations qui définissent une surface développable quelconque.

^\ — Dans la relation : q=zF{p), (1)

intervient une fonction arbitraire F. Choisir cette fonction, c'est choisir la surface développable. Nous pouvons trouver une relation équivalente à la condition (1) et d'où la fonction arbitraire a disparu. Dérivons (1) successivement par rapport k x et k y :

ôy dF hp dF

bx dp bx dp '

hq dF hp dF by — — dp ày ~~ dp ^'

Des deux relations :

dF dF

on tire :

Telle est l'équation aux dérivées partielles du second ordre qui s'applique à toutes les surfaces développables. Nous verrons plus loin (§ 4G1) ce qu'elle exprime.

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 32

417. Autre manière de définir les surfaces développables. Cônes directeurs.

Reprenons la définition des surfaces développables.

i". — En général, les trois constantes qui entrent dans Téquation du plan tangent : p, y, z — px — qy,

dépendent de deux variables (j-, ;/, par exemple). Etudions ce qui arrive dans le cas où elles ne sont fonction que d'une variable. Nous avons alors un faisceau de plans :

Z=/;X + yY + c,

dont les constantes/;, </, c, sont fonction d'un paramètre : ils enveloppent une surface que nous allons montrer développât le.

11 est d'abord évident que l'intersection de deux plans voisins du faisceau, la caractéristique (§ '^97), est une droite. Donc la surface enveloppe des positions du plan mobile est réglée : elle peut être considérée comme engendrée par une droite qui se meut.

Trois positions inliniment voisines 1, 2, 3, du plan mobile déterminent deux caractéristiques qui appartiennent toutes deux au plan 2; par conséquent, elles se coupent. On peut donc considérer les c;iractéristi(jues comme t.mgentes à une courbe gauche.

En général, une enveloppée touche l'enveloppe tout le long de la caractéristique correspondante : donc la surface enveloppe que nous étudions, est tangente au même plan tout le long de chîicune de ses génératrices rectilignes. Elle possède donc tous les caractères propres aux surfaces développables précédemment définies.

^2°. CONES DIRECTELHS.

Une surface réglée quelconque est engendrée par une droite qui se meut.

On appelle cône directeur dune surface réglée, en particulier d'une surface développable, le cône obtenu en mêlant par un point S des parallèles à toutes les génératrices rectilignes; nous avons déjà vu (]ue les cônes directeurs de l'hélicoïde développable et des surfaces d'égale pente sont de révolution (Jj 413, t^").

Le plan tangent à une surface développable le long d'une génératrice est évidemment parallèle au plan tangent au cône directeur (jui c'orresi)ond à la même généndrice transportée parallèlement à elle-même de manière à passer par le point S.

En général, les plans tangents d'une surface, transportés parallèlement à eux-mêmef> de manière à j)asser par un point S, ne sont pas tangents à un cône. En d'autres termes, les normales à ces plans menées par le point S ne forment pas un cône ; elles remplissent complètement l'espace entier ou une portion de l'espace. Gela vient de ce que les deux constantes p, y, qui entrent dans l'équation du plan tangent (nous prenons le point S pour origine des coordonnées) : • Z=pX + q\,

ne sont pas fonction d'un seul paramètre. Lorsqu'ils le sont, la surface est développable ; les plans parallèles aux plans tangents enveloppent un cône qui est directeur pour cette surface. C'est dire • qu'il contient les parallèles aux génératrices rectilignes menées par son sommet.