Cylindres
/". — La plus simple des surfaces développables est le cylindre^ surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à ellemême, en s'appujant sur une courbe appelée directrice. Les génératrices passent toutes par un point à Kinlini ; il est loisible de les considérer comme tangentes à une courbe gauche évanouissante qui est ce point.
Les équations des génératrices ont la forme :
x=lz+P(u), y = mz + Q{u)- (1)
/ et m sont des constantes , P et Q sont des fonctions du paramètre variable u. La droite a une direction invariable: elle s'appuie sur la courbe tracée dans le plan xOy :
Eliminons u entre les équations (1); on a l'équation générale du cylindre en quantités finies :
X — lz = f[ij — mz). (2)
^". — Cherchons l'équation aux dérivées partielles de la surface cylindrique, c'est-à-dire une relation s'appliquant indifféremment à tous les c^dindres.
La fonction f peut être considérée comme dépendant de la variable auxiliaire t = y — mz , ([ui est fonction de x et de y , puisque z est fonction de ces variables. On a donc :
<V df Ot / àz \ df ( hz \
en écrivant (îf[dt = f'. Bien entendu, une fois la dérivation totale effectuée par rapport à /, nous remplacerons la variable auxiliaire par y — mz.
Ceci posé, dérivons (2) successivement par rapport k x oi k y :
^-^-ë= — èr, -l^^{i-m^)r. (3) Divisons membre à membre les équations (3) ; il reste :
df
àx
~ dt
àx
dt
3". — L'équation (4) exprime une propriété absolument générale des cylindres, indépendante des conditions particulières de direction des génératrices et du clioix de la directrice ; à savoir que le plan tancent est parallèle à une direction invariable. En effet, le plan tangent a pour équation :
Le plan parallèle mené par l'origine est :
Z=pX + qY.
Il passe par la droite invariable :
X = /Z, Y = mZ, si l'on a identiquement :
4'\ — Réciproquement, pour savoir si une surface est cylindrique, on clierclie à mettre son é(juation sous la forme (i). On exprime (jue la somme des dérivées j)artielles de z par rapport à x et à y, multipliées par des constantes , est une constante.
Pour éviter certaines diflicultés, prenons la droite sous la forme plus générale :
et soit F(.r, ?/, j3)=r:0, l'équation de la surface.
On a identiquement :
bF ^ , ÙF , , ^F , ^, ÔF ÔF bF ÔF
L'é(juation (4) prend la forme :
hV rtF , ôF
Soit, j);ir oxcinplo, l;i surrace (§ 337, !^) :
ôF „ ÔF . ÔF ,
L'équation à satisfaire identi(|uement est :
Lr -|- na = 0 ; d'où : 1 = n =^0.
La droite h laquelle toutes les génératrices sont parallèles est Oy, dont les écjuations sont x=zQ^ ^ = 0.
5". — L'é(piation (4) est un cas particulier de l'équation (2) du § 416. Dérivons- la successivement par rapport à j? et à ?/ , en remarquant que / et m sont des constantes :
lr-\-ms = 0, ls-\-mt = 0] s^ — rt = 0.
Le cylindre est une surface développable qui n'a qu'une nappe à distance finie.
