Cônes

/". — On appelle cane la surface engendrée parj une droite qui passe par un point fixe S et s'appuie sur une courbe appelée directrice.

Le cylindre est donc un cas particulier du cône : le sommet S est à l'infini.

Soit a, b, c, les. coordonnées du sommet ; les équations d'une génératrice sont :

u est un paramètre variable.

9". — Cherchons l'écjuation aux dérivées partielles des surfaces coniques. Eliminons u entre les équations (1).

On a l'équation générale du cône en quantités finies :

a, A, c, sont des constantes ; f est une fonction de x et de ;y, qu'on peut aussi considérer comme fonction de la variable auxiliaire :

On i • JlL^i^L^^-.Af y — ^ ^-

i^x ' dt ô.r dt [z — c)' "^ '

«V jiL ^f <^f

ù// dt ù// dt

-c 13^=^ ày |-

(iCci posé, dérivons successivement (2) par rapport à x et à ;/, multiplions par (5 — c)^ :

Eliminons /" entre ces écjuations. Il reste :

,'^°. — La propriété indépendante du cône considéré (ju'exprime ré(ju;ition (4), est ([ue le plan tangent passe par un point fixe. L'é(|uation de ce plan est en eiïet :

Écrivons ([ue cette équation est identiquement satisfaite par :

nous retrouvons l'équation (4).

4". — L'équation (4) est un cas particulier de l'équation (2) du § 416.

Dérivons successivement par rapport k x el par rapport à ?/, en observant ({ue a, j6, c, sont des constantes ; il vient les conditions :

d'où: s^ — rt = (}.

Les deux nappes de la surface développable qu'est le cône, sont les deux cônes opposés par le sommet.