Étude particulière du cône du second degré

/". — Le cône du second degré est engendré par une droite qui passe par un point fixe S et s'appuie sur une c()ni([ue ; le point S est hors du plan de la conique. Si la conique est une ellipse ou une parabole , elle est tout entière sur une des nappes du cône ; si c'est une hyperbole, elle est moitié sur une nappe, moitié sur l'autre.

'2'\ — Plaçons la conique (supposée centrée) dans le plan xOy ; donnons-lui l'orig-ine pour centre, les axes de coordonnées pour axes. Son équation est :

Soit Xq, ?/o, ^0 1 les coordonnées du point S. Ecrivons que la droite :

qui passe par S, s'appuie sur la conicpie. Faisons ;: = 0 , substituons dans (1) les valeurs de x et de ;/ tirées de (2) ; nous trouvons entre / et m la condition :

(^oj— lz,Y (î/o — mz,Y ,

Remphiçons / et m par leurs valeurs (2) ; réf[uation du cône est :

^/ / :^L ^ — Xq y ^ j(i / j/o y — Vo Y .

a" \ Zo z ^0 / b" \ ^0 '^ — -^0 /

équation du second degré qui est de la forme (2) du paragraphe précédent.

3". — Quand la coni(jue est une parabole, on procède de même. Il est évident que le cône a l'une de ses génératrices parallèle au plan de la parabole (§ 104).

4°. — En définitive, quelle que soit la conique, nous trouvons pour le cône une équation du second degré ; c'est donc une (juadrique. Nous savons (§ 336) que parmi les quadriques , les cônes (qui sont nécessairement des quadriques centrées) peuvent se ramener à la forme :

vL—^

aï -r 7,2 — cî Cherchons les sections cycliques de cette surface dont le sommet

COURS DE MATUf:MATIQUES GÉNÉRALES

est à rori^^iiie. Utilisons la méthode du Jj 340. La sphère que nous emploierons a un rayon nul :

Retranchons (i) de (3) ; il vient :

équation satisfaite si l'on pose :

Les deux plans (5) et tous les plans parallèles coupent le cône suivant des cercles.

Donc tout cône du second degré peut être considéré de deux manières différentes comme cône oblique à base circulaire.

Si le cône est de révolution autour de 0-3 (a=:/)), ses sections cycliques [l)) sont confondues entre elles et avec le plan xijy (^ = 0) : on. a le cône droit à base circulaire.