Développement du cône

/". — Pour développer un cône (juelconcjue, nous le fendons suivant

une génératrice ; l'arête de rehroussement est ici évanouissante ; elle se réduit au sommet. Sa conjuguée dans le développement est un point, i^". — Comme exemple, développons une section plane GFD d'un cône droit à base circulaire, section inclinée de l'angle 0 sur la section droite.

Supposons qu'elle ne touche qu'une des nappes de la surface développable : la section est une ellipse ; cherchons sa conjuguée dans le plan (fig.

Menons par l'axe un plan AOE défini par l'angle a.

Soit u l'angle correspondant des génératrices AB, AE, angle mesuré

sur le cône.

Fig. 271.

Posons AB

Calculoni

OB

On

a ev

idemment

Dans le triangle sphérique formé par les droites OE, OD, OF , triangle rectangle en E, on a (§ 73, quatrième formule) :

tg g = tgô. cos a.

Dans le triangle OEF, on a :

EF p — po sin|5 sin J

'0E~ ^^0 ' sin (y — g) sin y cos g — cos y sin g

tg ô coso

sm Y — tg 0 cos a. cos y

sm

Dans le triangle AOB, on a :

cos Y = To : Po,

Substituant dans la formule précédente, il vient

- poZo

PoZo : Zo — /'otgo.cos

po"

Totgô. COS a

Telle est Téquation en coordonnées polaires p et u de la conjuguée de la section plane.

S". — Gomme nous pouvons supposer le cône formé d'une infinité d'épaisseurs de papier infiniment mince, la courbe obtenue se répète un nombre infini de fois. Elle reste comprise entre deux cercles de rayon : poZo ; [Zn •+• r^tgO], Chaque période est limitée par deux droites, passant par l'origine des coordonnées et faisant entre elles Tangle :

U = 2::ro:po.

Pour 6 = 0, la courbe se réduit à un cercle, ce qui est évident.

Pour les valeurs de 0 comprises entre 0 et le demiangle au sommet du cône, la courbe a partout une courbure de même sens. Il ne peut exister de point d'inflexion en vertu du § 415, ^°.

Pour 0 égal au demi -angle au sommet du cône, le plan d'intersection est normal au cône pour p minimum et simultanément normal à la génératrice : la courbe conjuguée présente un contact du troisième ordre avec sa tangente pour le minimum du rayon vecteur (§ 413, 6").

Enfin, pour les valeurs supérieures de 6, le plan d'intersection est normal au cône pour deux points ; la courbe plane a donc deux points d'inflexion. Elle ressemble à une sinusoïde (fîg. 272) en coordonnées polaires.

Nous laissons au lecteur le soin de discuter le cas où le plan

Fig. 272.

sécant coupe les deux nappes du cône. La courbe possède naturellement des branches infinies.

423; Application du développement conique : construction des cartes.

/". — Pour représenter les points d'une sphère sur un plan, on les projette sur un cône qu'on développe.

On prend le cône tangent à la sphère suivant le parallèle de latitude v„, par conséquent le lon<^ d'un cercle de longueur 27:R cos v„. Les méridiens se projettent sur ce cône suivant des génératrices. Le cane-

FiK. 2t:{.

vas principal de la carte se composera donc après développement : 1" de droites concourantes au point S (jui correspondent aux méridiens; 2" de cercles ayant ce point S comme centre qui correspondent aux parallèles ((ig. 27*0-

Appelons 1{, non le rayon terrestre, mais le rayon de la sphère sur laquelle nous opérons. On a :

SÂ= :^ = R cotg To, A'AA" = 27:R cos v^ ;

d'où : Q = A^À" : SA — 27: sin r,.

Par exemple, si le cercle de tangence correspond à la latitude 45", on a :

Q = 7: v'2 = 4,441^, soit sensiblement 20")".

Sur le développement, les points sont rapportés à des coordonnées polaires. Nous apprendrons tout à l'heure à évaluer le rayon vecteur a; quant à l'angle w, compté à partir du méridien origine SS', on a : (ù = u sin Vq,

où u est la longitude. En effet , pour u :=2z, o) doit être égal à Q.

Spécifions maintenant le mode de projection des parallèles.

^°. — Perspective.

Pour point de vue prenons le centre 0 de la sphère. Le point P vient en G. Dans le triangle OAG, on a :

a' == ÂG = R tg (u — t^o) , g=I. — g' = R [cotg V, — tg [v — v,)].

La carte s'étend jusqu'au sommet S.

3^. — Parallèles équidistants. Gartes plates.

On porte suivant la génératrice une longueur AD = arc AP.

On a donc :

(t' rr= R (u Vo), a =: R [cotg V^ {v t^)].

La carte ne se prolonge pas jusqu'au sommet S; le pôle G correspond à un cercle fini dont on calculera facilement le rayon (fîg. 274).

Nous reviendrons plus loin (§ 425) sur une altération de ce système utilisé dans les cartes de l'Étatmajor français.

Gomme cas particulier, projetons sur le cylindre (limite du cône) qui correspond à Vq = 0. Les méridiens et les parallèles sont représentés par deux faisceaux de droites équidistantesetse coupantà angle droit. Le canevas général se compose d'un quadrillage formé de carrés. ^j^ 274

Gomme altération de ce système, on prend des équidistances différentes pour les deux faisceaux rectangulaires. Afin d'éviter les altérations de surface trop grandes , on choisit pour rapport des longueurs qui représentent un degré de longitude et un degré de latitude, celui qui correspond exactement à la latitude moyenne fi des pays représentés :

longueur d'un degré de longitude

longueur d'un degré de latitude ^'

Par exemple, si la latitude moyenne est 60", le canevas se compose de rectangles deux fois plus hauts que larges.

Les cartes construites dans ce système sont dites cartes plates j après une grande faveur, elles ont été abandonnées.

4°. — Projection orthogonale.

Enfin on peut projeter le point P orthogonalement sur le cône en B. On a :

cr'=:Rsin [v — Vq) , c7 = R[cotgfo — sin (v — Dq)].

La carte ne se prolonge pas jusqu'au sommet S. Le cercle correspondant au pôle G a pour rayon :

R cotg 1^0 (1 — sin Vq).