Projections coniques

/''. — Représentation conforme : système de Gauss.

Sans rien préciser de plus, posons que les méridiens sont représentés par des droites concourantes et les parallèles par des cercles ayant pour centre commun le point de concours : les deux faisceaux de lignes de repère sont orthogonaux.

Posons donc : (o = ku , a = /(u).

Evaluons les éléments d'arcs sur la sphère et sur le plan. Sur la sphère : ds- = R-Ju* -\- R* cos* v du* ;

sur le plan : ds- = Jt- -[- c* c/w*.

Écrivons que la représentation est conforme. On doit avoir (§ 387) :

(/a ad(ô ^"'^ . ^'^ / ^^

dv cos V du cos u ' ^ ^ cos v '

Ainsi la représentation sera conforme si les coordonnées polaires (i) et (T dans le plan sont reliées aux coordonnées sphériques w et u par les formules :

(j) = ku ^

Pour des valeurs égales et de signes contraires de u, la tangente et par suite le quotient j ; ao prennent des valeurs inverses.

Pour y = t: ; 2 , on a j r= 0 ; pour v=z — r, '. 2, on a fj=:QC.

Telle est la condition pour que la représentation soit conforme. Nous disposons de deux arbitraires a,, et k. Profitons-en pour rendre la représentation exacte, par exemple, sur Téquateur. Il faut écrire que les iigures infiniment petites sont non seulement semblables, mais identiques.

Posons donc pour u=zO :

dd = — Rdv , ::(/(,) = R cos v . du .

On trouve aisément la condition :

Gok=R.

Pour bizarre que paraisse ce système, qui revient à représenter la terre sur un éventail, on obtient des résultats remarquables. John Herschel a construit une carte dans l'hypothèse A: = 1 : 3 (l'éventail

a une ouverture de 120") où les déformations sont étonnamment petites. La figure 275 en représente le canevas.

^''. — Projection conique avec conservation des aires : système DE Lorgna.

Posons comme plus haut :

iô = ku, r^z=.f(y).

Écrivons que les aires élémentaires sont identiques (§§ 174 et 378) :

a chùdc = R2 cos V . dudv

D'où immédiatement

t/ -T" . R Vl — sin V .

La constante d'intégration est déterminée par la condition que pour le pôle [v^^r. '.2), le rayon vecteur c soit nul. Ainsi les aires sont conservées si les coordonnées polaires w et c dans le plan sont reliées aux coordonnées sphériques u et v par les formules :

(t)=^ku, a = v^l ; A: . Ry/2(1 — sini;).

On vérifiera que Ry^2(1 — sin y), est la corde de l'arc de grand cercle compris entre le pôle et le parallèle de latitude v.