SÉCANTE

Pour déterminer une position approchée du point d'intersection, nous pouvons assimiler la courbe à une droite entre les abscisses Xq et Xi. Nous remplaçons (fîg. 33) la courbe AGB par la droite AB. Nous déterminons aisément l'abscisse du point D.

En effet, soit tii la valeur de y=f[x), pour x = Xi^ -r^o sa valeur pour x = Xq; appelons Xo l'abscisse inconnue du point D.

On a immédiatement dans les triangles semblables A3D et A(3B :

Xn

rn — V)o

D'où 07.2. Il est bon d'observer que le point D n'est pas nécessairement plus voisin du point G cherché que l'un et l'autre points a et b.

Mais la distance DG est certainement plus petite que la plus grande des distances âC et Cb.

Pour continuer les tâtonnements , on substituera dans y la valeur Xç,. On recommencera l'interpolation avec X2 et celle des quantités Xq, Xiy qui, substituée dans yz=f{x), donne un résultat de signe contraire à 072- Autrement dit, si x^ donne une valeur y <^r\^ on prendra x^ qui donne une valeur plus grande (figure 33 à gauche).

S". — Méthode de Newton. Emploi de la tangente.

Supposons le point d'intersection cherché localisé entre les points a et i) d'abscisses x^ et a?, . Il s'agit de déterminer l'abscisse du point G.

La méthode deNew^ton consiste à trouver l'intersection de la droite y=n, avec la tangente menée à la courbe AGB en l'un ou l'autre des points A, B. La figure 34 montre immédiatement que la méthode est mauvaise si les points A et B ne sont pas très voisins; autrement dit, si entre ces points la courbe n'est pas approximativement remplaçable par la tangente en A ou en B.

Quoi qu'il en soit, calculons l'abscisse x^ du point E.

Nous savons que l'équation de la tangente en A (§ 30) est :

Fig. 34.

y — 'no = f'{oOo) [x —

['{xq) est la valeur de la dérivée de y=f{x) par rapport à a?, quand on pose x = Xq.

Pour connaître iCg? substituons à y la valeur y;. Il vient :

r,~'no = f'{x^) [x^ — X,) , X. = X, + {r, — yjo) ! f'{x,) ; (2)

formule évidente sur la ligure.

Remarque I. — Si la droite horizontale coïncide avec Ox , les formules précédentes se simplifient. Il faut poser y; = 0. On trouve :

X\ Xq

X^ J?o "'io .. ^ y \^ )

Remarque II. — Comparons les formules (1) et (2). Elles sont identiques, s'il est pratiquement permis de poser :

c'est-à-dire si la tangente se confond sensiblement avec la sécante. Remarque III. — Tout ce que contient ce paragraphe est applicable à la détermination des points d'intersection d'une horizontale avec une courbe quelconque : ij=f(^x): l'hypothèse qu'il s'agit d'un polynôme n'intervient pas.

Racines réelles des équations algél)riques.