Plan tangent aux surfaces réglées

/". — Un plan qui contient une généiatrice G, coupe la surface réglée suivant une autre courbe G. En effet, les génératrices voisines de G et situées de part et d'autre lencontrent le plan chacune en un point ; l'ensemble de ces points forme une courbe. Comme cas particulier, cette courbe est une droite (paraboloïdes, hyperboloïdes).

t^". — 11 résulte de là (pie tout plan contenant une génératrice est tangent à la surface en un point P ; c'est celui où hi courbe G déterminée par le plan coupe la génératrice G. Le plan contient, en effet, autour du point P deux éléments de courbes tracés sur la surface ; il contient, par suite, tous les points voisins de P ; car ceux-ci forment un i)lan quand on se limite aux infiniment petits du premier

SURFACES REGLEES NON DEVELOPPABLES

ordre. Un cas fait exception, celui des surfaces développables , où le plan tangent est unique et le même tout le long de la génératrice.

S". — Cherchons l'équation du plan tangent au point P défini par les valeurs, w, t, des paramètres.

Écrivons d'abord que le plan passe par le point de contact choisi : X, Y, Z. Son équation est :

Ecrivons qu'il contient la génératrice passant par le point de contact. On a :

X=p-{-lé, Y = c/^mt, Z = r-\-nt\

a[x — p — lt)-\- b[}i — q — mt) -|- ^(^ — r — /i/) :^ 0 . Cette équation devant être satisfaite cpiel ({ue soit /, écrire : a[x — p) -f- />(?/ — q)-\-c[z — /•) znz 0.

ti l -\- bm -\- en = 0 .

Exprimons eniin que le plan passe par le point P' voisin de P obtenu en laissant t invariable et en remplaçant u par u -j- du ; par conséquent, P' se trouve sur la génératrice G' voisine de G.

On a comme condition :

faut

bX

du

ÔY

du]^c[z — 7.

L'élimination de a,h^c, entre les équations (1), (2), (3), donne l'équation du plan cherché.

dii] = ().

0 ^ point centra?

t/Oz ^plan centra/