Paramètre de distribution

/'. — Pour discuter commodément la façon dont le plan tangent varie le long d'une génératrice G, (c'est-à-dire quand l varie, les quantités /, m, /i, />, q, 7% et leurs dérivées par rapport à u restant constantes), prenons cette génératrice G pour axe 0;; ; mettons son point central 0 à l'origine des coordonnées ; choisissons pour axe 0?/ la perpendiculaire commune aux génératrices voisines de G (fig. 277).

X et y devant rester constamment nuls quel que soit /, on a pour la génératrice G :

p = q = l = m=zO.

Fig. -2"

Prenons z pour la variable t. Gela revient à poser :

z = t; r = 0, /î = l; par suite, r' = 0, n'=zO. La génératrice G' voisine de D a pour équations :

x=:(lp-\- zdl, y = dq-\- zdm .

Par hypothèse, elle rencontre O//. Pour :: = 0, on a donc : X =z dp = 0, // = dq = 0=^ OA .

Par hypothèse, encore, elle est normale à 0;/ et fait avec Og l'angle 0 :

dm = 0, tg6 = BC : ÂB = :r: z = dl.

^. — Écrivons ré(juation du plan tangent. La condition (2) donne c = 0. La condition (3) donne : atdl-\- Jjdq = 0.

Le plan devjint j)asser p;ir l'origine, son équation est :

dq X 0 X X

z est le z variable du point de contact ; ;/ et x sont les coordonnées courantes.

^Y. — Mettons ré([uation sous une autre forme. Remplaçons dq et

;, . 1 ÔÂ ÂB

(// par leurs valeurs : 7="ïï^ • ~if~^'

Soit D le point j)<)ur lequel on demande le plan tangent. Menons le plan normal à ()g ; il coupe la génératrice G' au point G et détermine le triangle DBG. Menons GE parallèlement à 0^ ; on a :

AB=r:OD = Z, BG=3ÂE, 7VÊ = ()Â.tga.

L'é((uati()n du plan s'écrit : .r = //tga, tga= / .

Sa trace sur rC);/ est donc i)\i.

Nous aurions jui déduire immédiatement ce résultat du ji 431, c'està-dire de la délinition du plan tangent.

4". — Ici une remarque s'impose sans laquelle on irait au-devant d'idées fausses (v; 4*M) : D(] n'est pas la tangente à la seconde courbe d'intersection suivant laquelle le plan EOD coupe la surface réglée ; s'il en était ainsi, cette courbe serait normîde à la génératrice G, ce (jui est généralement faux.

MaisAG, EG , OD, sont des longueurs linies; O A est un infiniment petit. Toute courbe partant de D et rencontrant G', coupe donc G' en un point qui ne diffère de G que d'un infiniment petit, c'est-àdire une (juantité négligeable devant AG. Le point E et par suite l'angle a sont donc ci la limite aussi bien déterminés par la perpendiculaire DG à 0^ que par n'importe quelle oblique.

SURFACES REGLEES NON DEVELOPP ARLES