Hélicoïde gauche ou à plan directeur

i°. — On appelle hélicoïde gauche ou à plan directeur un conoïde droit admettant pour directrice courbe une hélice dont l'axe coïncide avec la directrice rectiligne.

On se reportera à la figure 280 .

Les coordonnées d'un point de l'hélice étant

'/=(). Le plan tangent

Fig. 280.

X=: r COS

rsin

2zs

522 COLIiS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

les équations à deux i)aramètres u, s (§ 372) de Fliélicoïde gauche sont :

2zs . 2t.s h

x= ru ces — ^- , y = ru sin — j;t— , z = -^-5.

Si w^i, les points sont hors du cylindre sur lequel l'hélice directrice est tracée; si « <^ 1 , ils sont dans ce cylindre.

^°. — Inversement pour une valeur donnée de u et pour 5 variable, on décrit sur l'hélicoïde une hélice. Toutes ces hélices ont même j)as II. Leurs inclinaisons (-) et la longueur i! de l'arc (jui correspond ;i un tour, SDut fournies par les formules :

Il est indilléient de ])rendie l'une ou l'auli'e de ces hélices pour directrice courbe de riiélic-oïde.

Change!' l'hélice revient à remplacer les quantités s et S par les (piantilés j)roj)()i'tionnelIes 7 et il.

,f\ — Nous retrouvons immédiatement le théorème fondamental sur la distribution des j)lans t;nigents. En un point quelconque P de l'hélicoïde, le plan tangent passe par la génératrice rectiligne et est tangent à une des hélices (pie nous avons définies au !2''. Si P est à une distîince /•// de l'axe, l'inclinaison de celte hélice, par suite celle du plan tangent est :

H 2i:ru '

tg (-) = -.»

H mesure l'angle avec h' plan horizontal. Mais le j)lan central est vertical ; donc l'angle a du plan tangent vn P avec le plan central correspondant est le complément de 0 :

2T,ru t., ______

tg a est donc bien j)roportionnel à la tlistance ru du point V au point centnd corres})ondant. Le plan tangent, vertical sur 0,3, devient horizontal à linfini; ce (jui est évident a priori^ puis(|u'une surface de j)lus en plus grande occupe toujours la même hauteur verticale. Nous verrons tout à l'heure rinconvénient industriel de ce résultat.

-/". — (^.aleulons l'élément d'arc n d'une courbe tracée sur l'hélicoïde

Un calcul facile donne :

du"- = r-du- -\- -^ ds-.

La forme de cette é([uation nous apprend que les génératrices de l'hélicoïde et les hélices définies au î?" forment un système de courbes t)rthogonales. En choisissant convenablement la loi de variation du paramètre u [ce qui revient à prendre une variable U = /"(«)], on

SURFACES REGLEES NON DE VELOPP ARLES 523

obtient un système d'isothermes (§ 385) découpant la surface en carrés infiniment petits. On posera :